Jacobische Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung $F: V \times V \rightarrow V$ auf dem Vektorraum V die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi) falls gilt:

$F(F(x,y),z) + F(F(y,z),x) + F(F(z,x),y) = 0 \; \forall \, x,y,z \in V.$

Ist die bilineare Abbildung antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im folgenden

$[{\cdot},{\cdot}]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto[x,y]$

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Liealgebra auf V definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

• [x,[a,b]] = [[x,a],b] + [a,[x,b]]

Anders gesagt: die Abbildung

$a\mapsto[x,a]$

ist eine Derivation bezüglich des Produktes [,].

• [[a,b],x] = [a,[b,x]] − [b,[a,x]]

Anders gesagt: Mit der Notation

$\mathrm{ad}(a)\colon V\to V, \quad x\mapsto\mathrm{ad}(a)(x)=[a,x]$

gilt

ad([a,b]) = [ad(a),ad(b)];

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von V. Anders gesagt: Die Abbildung

$\mathrm{ad}\colon V\to\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}\,V,\quad a\mapsto\mathrm{ad}(a)$

ist eine Darstellung der Liealgebra V auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.