Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y'= f\left(\frac{ax + by + c}{\alpha x + \beta y + \gamma}\right)\ .$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler)

$y' = f\left(\frac{y}{x}\right).$

Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob $\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix}$ verschwindet oder nicht.

Nichtverschwindende Determinante

Wegen $\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix} \neq 0$ gibt es (eindeutige) $x^\star, y^\star \in \mathbb{R}$ mit

$\begin{array}{lcll}&ax^\star+by^\star&=&-c\\\wedge&\alpha x^\star+\beta y^\star&=&-\gamma\ .\\\end{array}$

Dann folgt

$\frac{ax+by+c}{\alpha x + \beta y + \gamma} = \frac{a(x-x^\star)+b(y-y^\star)}{\alpha(x-x^\star)+\beta(y-y^\star)} = \frac{a+b\frac{y-y^\star}{x-x^\star}}{\alpha+\beta\frac{y-y^\star}{x-x^\star}}\ .$

Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

$u' = f\left(\frac{a+b\frac{u}{x}}{\alpha+\beta\frac{u}{x}}\right) = g\left(\frac{u}{x}\right)\ ,\ g(s) := f\left(\frac{a+bs}{\alpha+\beta s}\right)$

ist $y(x) := y^\star + u(x-x^\star)$ Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

$y'(x) = u'(x-x^\star) = f\left(\frac{a+b\frac{u(x-x^\star)}{x-x^\star}}{\alpha+ \beta\frac{u(x-x^\star)}{x-x^\star}}\right) = f\left(\frac{a+b\frac{y(x)-y^\star}{x-x^\star}}{\alpha + \beta\frac{y(x)-y^\star}{x-x^\star}}\right) = f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x + \beta y(x) + \gamma}\right).$

Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Verschwindende Determinante

Sei nun $\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix} = 0$. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

• Der Fall b = β = 0

Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von y abhängt.

• Der Fall $a=\lambda\alpha, b = \lambda\beta, \beta \neq 0$

Für alle Lösungen z der separierten Differentialgleichung

$z' = \alpha + \beta f\left(\frac{\lambda z+c}{z+\gamma}\right)$

ist $y(x) := \frac{1}{\beta}(z(x)-\alpha x)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt

$y'(x) = \frac{1}{\beta}(\alpha + \beta f\left(\frac{\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma}\right)-\alpha) = f\left(\frac{\lambda(\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x + \beta y(x)+\gamma}\right) =f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x + \beta y(x)+\gamma}\right)\ .$

Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.

• Der Fall $\alpha=\beta=0, b \neq 0$

Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen z der separierten Differentialgleichung

$z' = a + b f\left(\frac{z+c}{\gamma}\right)$

ist $y(x) := \frac{1}{b}(z(x)-ax)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen

Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung $y' = g\left(\frac{y}{x}\right)$. Für jede Lösung z der separierten Differentialgleichung

$z'(x) = \frac{1}{x}(g(z) - z)$

ist $y(x) := x\cdot z(x)$ Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

$y'(x) = z(x) + xz'(x) = g(z(x)) = g\left(\frac{y(x)}{x}\right)\ .$

Die Differentialgleichung für z kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2