Thetafunktion

In der Mathematik sind Thetafunktionen eine spezielle Klasse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Systematisch untersucht wurden Thetafunktionen zuerst von Carl Gustav Jakob Jacobi.

Thetafunktionen spielen eine Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der quadratischen Formen.

Definition

Klassische Thetafunktion

Die klassische jacobische Thetafunktion ist definiert durch

$\vartheta(z,\tau):=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}$

Die Reihe ist in $\mathbb{C} \times \mathbb{H}$ normal konvergent, dabei bedeutet $\mathbb{H} = \{z\in \mathbb{C} | \Im(z) > 0\}$ die obere Halbebene. Für festes $\tau \in \mathbb{H}$ ist also $\vartheta(\cdot, \tau)$ eine ganze Funktion, für festes $z \in \mathbb{C}$ ist $\vartheta(z, \cdot)$ eine auf $\mathbb{H}$ holomorphe Funktion.

Weitere Thetafunktionen

Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, nämlich:

$\vartheta_0(z,\tau):=\vartheta_{0,1}(z,\tau):=\vartheta(z+\frac{1}{2},\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}$

$\vartheta_2(z,\tau):=\vartheta_{1,0}(z,\tau):=e^{\pi i\frac{\tau}{4}+\pi iz}\vartheta(z+\frac{\tau}{2},\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i(n+\frac{1}{2})^2\tau + 2\pi i(n+\frac{1}{2})z}$

$\vartheta_1(z,\tau):=\vartheta_{1,1}(z,\tau):=e^{\pi i\frac{\tau}{4}+\pi i(z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2},\tau)=i\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^ne^{\pi i(n+\frac{1}{2})^2\tau + 2\pi i(n+\frac{1}{2})z}$

Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als $\vartheta_3(z,\tau)$ bzw. $\vartheta_{0,0}(z,\tau)$ bezeichnet.

Etwas allgemeiner definiert man

$\Theta_{a,b}(z,\tau):=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i(n+\frac{a}{2})^2\tau + 2\pi i(n+\frac{a}{2})z + \pi inb}$

Theta-Nullwert

Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert z = 0, also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe

$\vartheta(\tau):=\vartheta(0,\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2\tau} = 1+2\sum_{n=1}^\infty e^{\pi in^2\tau}$

Eigenschaften

Nullstellen

Für festes $\tau \in \mathbb{H}$ hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen

$z=k+m\tau+\frac{\tau+1}{2}, k,m\in \mathbb{Z}$.

Transformationsformel

Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es ist

$\vartheta(z+1,\tau)=\vartheta(z,\tau+2)=\vartheta(z,\tau)$

Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel

$\vartheta(z,\frac{-1}{\tau})=e^{\pi iz^2\tau}\sqrt{\frac{\tau}{i}}\vartheta(z\tau,\tau)$

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

$\vartheta(\frac{-1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}}\vartheta(\tau)$

Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen.

Produktdarstellung

Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:

$\vartheta(z,\tau)=\prod_{n=1}^\infty(1-e^{2\pi in\tau})(1+e^{\pi i[(2n-1)\tau+2z]})(1+e^{\pi i[(2n-1)\tau-2z]})$

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

$\vartheta(\tau)=\prod_{n=1}^\infty(1-e^{2\pi in\tau})(1+e^{\pi i(2n-1)\tau})^2$

Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass $\vartheta(\tau)$ keine Nullstellen in der oberen Halbebene $\mathbb{H}$ hat.

Integraldarstellung

Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:

$\vartheta(z, \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} \text{d}u$

Differentialgleichung

Die Thetafunktion spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der Wärmeleitung, für reelle x und t > 0 ist sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it).$

Jacobi-Identität

Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:

$\vartheta_3(\tau)^4 = \vartheta_0(\tau)^4 + \vartheta_2(\tau)^4$

Zusammenhang mit der riemannschen Zetafunktion

Riemann benutzte in seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Transformationsformel der Thetafunktion für einen Beweis der Funktionalgleichung der Zetafunktion, es gilt nämlich:

$\Gamma(\frac{s}{2})\pi ^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty (\vartheta(0,it)-1)\,t^{\frac{s}{2}}\frac{\text{d}t}{t}$

Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen

Zusammenhang mit der dedekindschen Eta-Funktion

Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der dedekindschen Eta-Funktion, es gilt:

$\vartheta(0,\tau)= \frac{\eta^2(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau+1)}$

Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe

Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man $f(\tau):=\vartheta^8(\tau)$, so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens

f(τ + 2) = f(τ) und $f(\frac{-1}{\tau})=\tau^4f(\tau)$

Die Funktion f(τ) ist also eine Modulform vom Gewicht 4 zu der von den beiden Transformationen $\tau\mapsto \tau+2$ und $\tau\mapsto \frac{-1}{\tau}$ erzeugten Untergruppe $\Gamma_\vartheta$ der Modulgruppe Γ.

Quotienten von Thetafunktionen

Die Thetafunktion lässt sich zur Definition elliptischer Funktionen heranziehen. Setzt man etwa für festes $\tau\in\mathbb{H}$:

$f(z)= \frac{\vartheta^2(z+\frac{1}{2},\tau)}{\vartheta^2(z,\tau)}$,

so ist f(z) eine elliptische Funktion zum Gitter $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$.

Auf ähnliche Weise lässt sich auch die weierstraßsche ℘-Funktion konstruieren. Erfüllt nämlich eine holomorphe Funktion f(z) die beiden Bedingungen f(z + 1) = f(z) und f(z + τ) = e ^{− az − b}f(z) für ein festes $\tau\in\mathbb{H}$, so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$. Beispielsweise gilt für die weierstraßsche ℘-Funktion:

$\wp(z)= -\frac{\text{d}^2}{\text{d}z^2}\log\vartheta_1(z,\tau) + c$

mit einer passenden Konstanten c.

Zusammenhang mit zahlentheoretischen Funktionen

Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen.

Als weitere Anwendung erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:

$\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^3 = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m(2m+1)q^{(m^2+m)/2}$

Literatur

• Adolf Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
• Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions New York: Dover, 1972 p. 576.
• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag New York 1990, ISBN 0-387-97127-0
• Adolf Hurwitz: Vorlesungen über Allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-63783-4
• Dale Husemöller: Elliptic Curves, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 0-387-95490-2
• Max Koecher: Aloys Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 3-540-63744-3
• Reinhold Remmert: Funktionentheorie I, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1