Kaplan-Meier-Methode

Der Kaplan-Meier-Schätzer (auch Produkt-Limit-Schätzer) dient zum Schätzen der Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuchsobjekt ein bestimmtes Ereignis innerhalb eines Zeitintervalls nicht eintritt.

Rechenvorschrift

Der Kaplan-Meier-Schätzer ist definiert durch:

$\hat S(t)=\prod_{t_{(i)}\leq t} \frac{n_i-d_i}{n_i}=\prod_{t_{(i)}\leq t}\left( 1-\frac{d_i}{n_i}\right)$

mit

$\hat S(0)=1$

und

d_i = Versuchobjekte, bei denen das Ereignis zum Zeitpunkt t_(i) eingetreten ist

n_i = Versuchsobjekte zum Zeitpunkt t_(i) unter Risiko

Beispiel

Zugrundeliegend soll folgende Tabelle sein:

Objekt Nr	Zeit(Tage)	Zensiert (1=Nein/0=Ja)	Unter Risiko n	S(i)
#1	1	0	15	1
#2	12	1	14	0,921
#3	22	0
#4	29	1	12	0,852
#5	31	1	11	0,77
#6	36	0
#7	38	0
#8	50	0
#9	60	0
#10	61	1	6	0,64
#11	70	1	5	0,51
#12	88	0
#13	99	0
#14	110	0
#15	140	0

Darstellung der gewonnenen Ergebnisse

$S(12)=\frac{14-1}{14}$

$S(29)=\frac{12-1}{12} \times \frac{14-1}{14}$

Weitergehende Themen

Varianz

Die Varianz des Schätzers kann im Intervall $t_k \leq t \le t_{k+1}$

mittels

$var \{ \hat S (t) \} \approx [\hat S(t)]^2 \left\{ \sum_{i=1}^k \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)} \right\}$

geschätzt werden.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall kann wie gewohnt aus der Varianz bzw. dem Standardfehler berechnet werden.

$s.e.\{ \hat S (t) \} \approx [\hat S(t)] \left\{ \sum_{i=1}^k \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)} \right\}^\frac{1}{2}$

Diese Formel wird auch als Greewood's formular bezeichnet.

Das 95%-Konfidenzintervall ist somit : $[\hat S (t) - 1,96 \times s.e.\{ \hat S (t) \};\hat S (t) + 1,96 \times s.e.\{ \hat S (t) \}]$

Siehe auch:

• Ereigniszeitanalyse
• Zensierte Daten
• Cox-Regression