Kolmogorov-Gleichung

Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung) ist eine partielle Differentialgleichung der Form:

$\partial_t u = \partial^2_x u + u - u^2$

Sie ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Die Gleichung wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren. Sie wird beispielsweise bei der Populationsdynamik und der Beschreibung von chemischen Reaktionen eingesetzt.

Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm $\partial^2_x u$ und einem nichtlinearen Reaktionsterm u − u².

Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion u(x,t) = f(t), so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung

$\partial_t f = f - f^2$

An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum $\partial_t f = f$ modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm − f² enthält, der z. B. bei chemischen Reaktionen die Sättigung der Konzentration oder bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung steht.

Reaktionsfronten

Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt, wie man zeigen kann, eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Verwendet man den für Wellen üblichen Ansatz

$u(x,t) = f(x - vt) =\, f(w)$

so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\partial_w^2 f + v\partial_w f + f - f^2 = 0$

Nach Linearisierung und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Gleichung für die Eigenwerte

$\lambda_{1,2} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 - 4}}{2}$

Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss $v \geq 2$ gelten.

Verallgemeinerungen

Die Gleichung kann noch verallgemeinert werden zu:

$\partial_t u = \partial^2_x u + (1 - u)u^m$

mit einer positiven ganzen Zahl m.