Komplex konjugiert

Komplex konjugiert
Komplexe Zahl und ihre Konjugierte
Komplexe Zahl z = a + bi und
ihre Konjugierte \bar z=a-bi

In der Mathematik bezeichnet man als komplexe Konjugation die Abbildung

\Bbb C\to\Bbb C,\quad z=a+b\cdot\mathrm{i}\;\;\mapsto\;\; \bar z=a-b\cdot\mathrm{i}

im Körper der komplexen Zahlen. Sie ist ein Körperautomorphismus von \Bbb C, also mit der Addition und Multiplikation verträglich:

\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot\bar z.

Die zu z=a+b\cdot\mathrm{i} konjugierte Zahl  \bar z = a-b\cdot\mathrm{i} hat also denselben Realteil, aber den entgegengesetzten Imaginärteil.

In der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl

z = r e^{i\varphi}

die Zahl

\bar z = r e^{-i\varphi}.

Sie hat also bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.

Inhaltsverzeichnis

Rechenregeln

Für alle komplexen Zahlen z=a+b\,\mathrm{i}\in\Bbb C gilt:

  •  a = \mathrm{Re}(z) = \frac12 ( z + \bar z)
  •  b = \mathrm{Im}(z) = \frac{1}{2\mathrm{i}} ( z - \bar z )
  • z \cdot\bar z = |z|^2 = a^2+b^2

Anwendung

Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:

  • Zu z\in\Bbb C mit z\neq 0 ist
z^{-1} = \frac1z = \frac1z\frac{\bar z}{\bar z}= \frac{\bar z}{|z|^2}
das multiplikativ Inverse.
  • Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir:
{y\over z} ={y\over z} \frac{\bar z}{\bar z}=  \frac{y\bar z}{|z|^2}
oder ausführlicher:
\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}} = \frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}.

Komplexe Konjugation bei Matrizen

Die komplex Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L / K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen „Konjugierte von a (in L)“. Jeder K-Automorphismus von L (d. h. ein L-Automorphismus, der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • konjugiert komplex — konjugiert komplẹx,   komplexe Zahl …   Universal-Lexikon

  • Konjugiert linear — Als Semilinearform bezeichnet man in der linearen Algebra eine semilineare Abbildung aus einem Vektorraum in den diesem zugrundeliegenden Skalarkörper; relevant sind Semilinearformen lediglich über dem Körper C der komplexen Zahlen. Eine… …   Deutsch Wikipedia

  • Konjugiert — Konjugation (v. latein. coniugare „paarweise zusammenbinden“) oder Abwandlung steht für: Konjugation (Grammatik), die Beugung von Verben Konjugation (Chemie), ein Bindungsphänomen bei Molekülen mit (mehrfach) ungesättigten Kohlenstoffketten… …   Deutsch Wikipedia

  • Glossar mathematischer Attribute — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik zur Löschung vorgeschlagen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel… …   Deutsch Wikipedia

  • Auflösbar — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Euklidisch — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Fehlstand — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Integrabel — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Kollinear — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Kopunktal — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”