Hermitesche Matrix

Eine hermitesche Matrix wird im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra untersucht. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen. Benannt sind diese nach dem Mathematiker Charles Hermite.

Beispiel

Die Matrix M mit den Elementen $m_{ij} \in \C$

$M = \begin{pmatrix} m_{11} && m_{12} && \cdots && m_{1n} \\ m_{21} && m_{22} && \cdots && m_{2n} \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ m_{n1} && m_{n2} && \cdots && m_{nn} \end{pmatrix}$

ist hermitesch, wenn die Bedingung ${}_{m_{ij} = m_{ji}^*}$ (dh. a_ij + ib_ij = a_ji − ib_ji) erfüllt ist.

Aufgrund der Bedingung ${}_{m_{ij} = m_{ji}^*}$ muss der komplexe Anteil der Größen in der Diagonalen gleich 0 sein:

$\left\{ \operatorname{Im}\left( m_{ij} \right) = 0 | i=j \right\}$

Die Größen in der Diagonale sind daher reell.

Definition

Eine $n \times n$ Matrix A heißt hermitesch genau dann, wenn sie gleich ihrer (hermitesch) Adjungierten A ^* , also gleich der transponierten und komplex konjugierten Matrix ist. Das heißt wenn

$A = A^* = \overline A^T = \overline{A^T}$

gilt. Beachte: Für die adjungierte Matrix finden sich auch die Bezeichnungen A^H und A^†, für die komplex konjugierte Matrix früher auch A^*.

Für die Einträge einer hermiteschen Matrix gilt also:

$A_{ij} = \overline{A_{ji}}$

Anders formuliert ist eine Matrix A genau dann hermitesch, wenn ihre Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist, d.h. $A^{\mathrm T} = \overline A\,$.

Eigenschaften

1. Die Matrix ist quadratisch.
2. Die Hauptdiagonalelemente sind reell.
3. Die Matrix ist normal.
4. Der Realteil ist symmetrisch, $\mathrm{Re}(A_{ij}) = \mathrm{Re}(A_{ji}) \,,$ der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch, $\mathrm{Im}(A_{ij}) = - \mathrm{Im}(A_{ji})\,.$
5. Die Eigenwerte hermitescher Matrizen sind reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem.
6. Hermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
7. Im Reellen fallen die Begriffe hermitesch und symmetrisch zusammen. Reelle symmetrische Matrizen lassen sich reell diagonalisieren.

Schiefhermitesche Matrix

Definition

Eine Matrix B heißt schiefhermitesch oder antihermitesch genau dann, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist:

$B = -B^* = -\overline B^T\,.$

Eigenschaften

1. Die Matrix ist quadratisch.
2. Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
3. Der Realteil ist schiefsymmetrisch, der Imaginärteil ist symmetrisch.
4. Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginär, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem.
5. Antihermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
6. Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit Blöcken

$r\,\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\ ,\ r\in\mathbb{R}\,.$

Literatur

• A. L. Onishchik: Hermitian Matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.

Siehe auch

• Hermitescher Operator