Konkave Linse

Linse

Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist. Die wichtigste Eigenschaft einer Linse oder eines Linsensystems ist die Optische Abbildung.

Die wesentlichste Größe einer Linse ist die Brennweite d. h. der Abstand von Brennpunkt bzw. Brennebene zur Linse. Der Kehrwert der Brennweite in Metern wird als Dioptrien bezeichnet.

Die freie, meist kreisförmige, nutzbare Fläche (Öffnung) x einer Linse wird Apertur genannt. Mit den Linsenparametern Apertur, Linsenradien, Mittendicke, Passfehlertoleranz (resp. Wellenfrontfehler im Durchtritt), Sauberkeit, Antireflexions-Schichtsystem und den Materialkenngrößen Homogenität, Spannungsdoppelbrechung, Brechzahl und Abbesche Zahl ist die optische Wirkung einer Linse vollständig vorhersagbar.

Als Linsenmaterial sind für sichtbares Licht transparente Stoffe, wie Glas, Kristalle und einige Kunststoffe (z. B. Polycarbonate, Polymethylmethacrylat, Cyclo-Olefin-(Co)polymere) geeignet. Glaslinsen werden durch Vor- und Feinschleifen, Vor- und Feinpolieren (auf Synchrospeed, Pech, CCP, des Weiteren durch Magnetorheologisches Finishing und Ion-Beam Figuring) und Zentrieren, bei geringeren Qualitätsanforderungen auch durch Pressen bei hohen Temperaturen gefertigt. Kunststofflinsen werden durch Spritzgießen oder Spritzprägen hergestellt.

Bei grafischen Darstellungen von Linsen, zum Beispiel auf technischen Zeichnungen, und bei Berechnungen hat man sich zur Vermeidung von Missverständnissen auf bestimmte Konventionen (DIN 10110) geeinigt: Es gibt eine Lichtrichtung. Das Licht kommt von links (oder von oben). Eine Linsenfläche, deren Krümmungsmittelpunkt rechts, also auf die Lichtrichtung bezogen hinter der Fläche liegt, hat einen positiven Radius, andernfalls einen negativen Radius (siehe auch: Vorzeichenregel).

Geschichte

Die ersten Linsen wurden für die Korrektur von Kurz- und Weitsichtigkeit als Brillengläser verwendet. Einige Zeit später wurden die ersten Fernrohre und Mikroskope als optische Apparate aus Linsen aufgebaut. Auch die Kontaktlinse gehört zu den hier beschriebenen Linsen.

Verschiedene Linsenformen

Ein Bauelement mit zwei planen und parallelen optisch wirksamen Flächen heißt Planplatte oder planparallele Platte. Eine gedachte Linie, auf welcher die Krümmungsmittelpunkte der Linsenflächen liegen, wird als Optische Achse bezeichnet. Ist eine der beiden Linsenflächen plan, so steht die optische Achse senkrecht auf dieser Planfläche.

Sphärische Linsen

Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diesen Flächen Krümmungsradien zuordnen.

Jede dieser Flächen kann konvex, eben oder konkav sein:

• Konvexe Fläche: Die Fläche ist nach außen gewölbt, die Konvention weist einen positiven Krümmungsradius auf der einfallenden und einen negativen Krümmungsradius auf der ausfallenden Fläche auf.
• Ebene Fläche: Eine ebene Fläche wird durch einen unendlichen Krümmungsradius beschrieben.
• Konkave Fläche: Die Fläche ist nach innen gewölbt, die Konvention weist einen negativen Krümmungsradius auf der einfallenden und einen positiven Krümmungsradius auf der ausfallenden Fläche zu.
• Sammellinsen oder konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand, Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.

Man unterscheidet

• Sammellinsen mit zwei konvexen Flächen oder mit einer konvexen und einer ebenen Fläche; ein Bündel parallel zur optischen Achse verlaufender einfallender Lichtstrahlen wird idealerweise in einem Punkt, dem Fokus oder Brennpunkt, gesammelt.

• Zerstreuungslinsen mit zwei konkaven Flächen oder mit einer konkaven und einer ebenen Fläche; ein Bündel von einfallenden Parallelstrahlen läuft scheinbar von einem Punkt auf der Einfallseite des Lichts auseinander.

Zerstreuungslinse (F – Fokus, O – Optische Achse)

Daneben gibt es Linsen, die eine konkave und eine konvexe Fläche besitzen; solche Linsen dienen oft zur Korrektur von Abbildungsfehlern (s. u.) in optischen Systemen mit mehreren Linsen. Sie sind Sammellinsen, falls die konvexe Fläche den kleineren Krümmungsradius hat, oder Zerstreuungslinsen, wenn die konkave Fläche den kleineren Krümmungsradius hat.

Sphärische Linsen führen prinzipbedingt zu Abbildungsfehlern, weil der Brennpunkt der Randstrahlen nicht mit dem Brennpunkt weiter innen liegender Strahlen übereinstimmt, gegebenenfalls auch abhängig von der Wellenlänge des Lichts. Um diese Fehler zu verringern, werden Linsensysteme (Anastigmate, Cookesches Triplet, Tessar u. a.) verwendet, die die Fehler weitgehend kompensieren. Außerdem gibt es asphärische (zum Beispiel parabolische) Linsen.

Asphärische Linsen

Asphärische Linsen sind meist auch rotationssymmetrisch, jedoch sind die Flächen nicht Ausschnitte von Kugeloberflächen. Die Form rotationssymmetrischer asphärischer Linsen wird in der Regel als Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) plus eine Potenzreihe für Deformationen höherer Ordnung angegeben. Nichtrotationssymmetrische asphärische Linsen können außeraxiale Ausschnitte solcher Kegelschnitte sein, aber auch in allen Richtungen frei definierte optische Flächen (Freiform-Asphären) sein.

$z = f(h) = \frac{h^2}{R\left(1+\sqrt{1 - (1 + k)\left(\frac{h}{R}\right)^2}\right)} + A_4 h^4 + A_6 h^6 + \dots$

Pfeilhöhe bei einer asphärischen Linse

Formel nach DIN ISO 10110-12 mit:

• z = Pfeilhöhe
• h = Abstand senkrecht zur Achse
• R = Scheitelradius
• k = konische Konstante
• A₄, A₆, ... = asphärische Parameter

Die so entstandenen Freiheitsgrade im Vergleich zur sphärischen Linse können genutzt werden, um beispielsweise Abbildungsfehler zu reduzieren. Konventionell werden in optischen Systemen Abbildungsfehler durch den Einsatz mehrerer sphärischer Linsen aus unterschiedlichen Materialien (Brechzahl, Dispersion) korrigiert. Durch den Einsatz einer asphärischen Fläche kann der Optikdesigner im Allgemeinen 2-3 sphärische Linsen ersetzen. Nachteil asphärischer Linsen ist insbesondere ihre auch heute noch vergleichsweise teure Herstellung.

Beispiele für asphärische Linsen:

• Die Korrektionsplatte des Schmidt-Teleskops.
• asphärische Sammellinsen in Anwendungen mit hoher Apertur (z. B. kurzbrennweitige Objektive und Okulare, Flachbettscanner, Fokussierlinsen für Diodenlaser, Kondensorlinsen in Projektoren und Scheinwerfern).
• Nicht rotationssymmetrische asphärische Linsen in Gleitsichtbrillen - je nach Blickwinkel erreicht man eine Seh-Korrektur mit unterschiedlicher Brennweite.

Eine Alternative für asphärische Linsen sind Gradientenlinsen.

Ideale Linse

• Möchte man parallel zur optischen Achse einfallendes Licht exakt in einem Punkt bündeln, so lässt sich dies z. B. durch die Wahl einer Linsenform erreichen, bei der die dem einfallenden Licht zugewandte Seite der Linse plan ist und die abgewandte Seite der Linse die Form eines Hyperboloids hat. Ist dabei n der Brechungsindex des Linsenmaterials und α der halbe Öffnungswinkel des zum Hyperboloid gehörenden Asymptotenkegels, so muss α die Beziehung $n\cdot\cos\alpha=1$ erfüllen. Es lässt sich weiterhin zeigen, dass dann derjenige der beiden geometrischen Hyperbelbrennpunkte, welcher den größeren Abstand zum Scheitel der Linse hat, auch mit dem Punkt übereinstimmt, in dem die parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen gebündelt werden.
• Für Licht, das von einem Punkt entspringt und auf genau einen Punkt abgebildet werden soll, ist das kartesische Oval die geeignete Linsenform. Für vorgegebene Brechzahlen und vorgegebene Abstände von Lichtquelle zu Linse und Linse zum "Zielpunkt" ist das kartesische Oval genau die Form, die den optischen Weg minimiert. Ist dies der Fall, so folgt aus dem Fermatschen Prinzip, dass die Strahlen genau auf den "Zielpunkt" abgebildet werden.

Für den Fall, dass benachbarte Punkte des Urbildes gleichmäßig auf benachbarte Punkte des Bildes abgebildet werden sollen, sind solche Überlegungen noch wesentlich komplexer.

Zylinderlinsen

Unsichtbarkeits-Paradoxon mit Zylinder-Linsen-Hälften: das Bild oben sieht ein Betrachter, der durch die halbe Zylinderlinse unten rechts auf die roten Tiere blickt; diese sind jedoch nicht zu sehen, da die Strahlung der blauen Tiere durch den unter den roten Tieren auf dem Spiegel liegenden Linienfokus zum Betrachter gelangt, Die beiden Zylinderlinsenhälften sind hierzu konfokal aufgestellt.

Zylinderlinsen haben in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen verschiedene Krümmungen.

Im engeren Sinn sind Zylinderlinsen tatsächlich Abschnitte eines Zylinders.

Zylinderlinsen bzw. Linsen mit einer Zylinderkomponente werden u. a. in folgenden Fällen eingesetzt:

• Brillengläser, die Zylinderfehler der Augenlinse ausgleichen

• Breitwand-Kinoprojektoren und -Filmkameras enthalten eine Zylinderlinse, um das Bild bei Breitwandformat platzsparend auf das normale Bildformat des Kinofilms abzubilden und bei der Projektion wieder zu entzerren (Cinemascope, Totalvision und ähnliche)

• Kollimation der Strahlung von Laserdioden, die aufgrund ihres Aufbaus eine nicht kreissymetrische Divergenz besitzen.

Eine reine Zylinderlinse bündelt parallel einfallendes Licht auf eine Brennlinie.

Elastische Linsen

Der Begriff "Elastische Linse" bezeichnet ein optisches Element, dass seine Brechkraft durch die Verformung eines elastischen Festkörpers ändert.

Es ergeben sich aus dem Funktionsprinzip folgende Vorteile:

• Die Form der Grenzfläche ist frei wählbar (sphärisch, asphärisch)
• Die Größe der Brechkraftänderung ist bei Verwendung von Gummimaterialien sehr groß (~15 dpt)
• Die Geschwindigkeit der Verformung kann sehr schnell erfolgen

Linsenform und Brennweite

Die optischen Eigenschaften einer Linse kann man durch ihre Brennweite, mit f abgekürzt, beschreiben. Die Brennweite f ist der kürzeste Abstand zwischen der Mittelebene der Linse und dem Punkt, zu dem parallel zur optischen Achse einfallendes Licht gebündelt wird (Sammellinse) oder von dem parallel zur optischen Achse einfallendes Licht zu stammen scheint (Zerstreulinse).

Die Brennweite hängt von den Krümmungsradien, R₁ und R₂ der beiden Linsenflächen ab. Diese können mit verschiedenen Methoden experimentell ermittelt werden. Optische Methoden sind z. B. das Autokollimationsverfahren oder die Methode von Kohlrausch. Eine mechanische Bestimmung des Krümmungsradius ist beispielsweise mit dem Ringsphärometer möglich. Mit den ermittelten Radien gilt dann für die Brennweite:

$\frac{1}{f} = \frac{n_2-n_1}{n_1} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) + \frac{(n_2-n_1)^2d}{n_2 R_1 R_2}$,

wobei n₂ die Brechzahl des Linsenmaterials, n₁ die Brechzahl des umgebenden Mediums (z.B Luft mit n₁ = 1) und d die Dicke der Linse in ihrem Achsmittelpunkt ist. Wenn die betrachteten Linsen relativ dünn sind, kann man obige Gleichung zu

$\frac{1}{f} = \frac{n_2-n_1}{n_1} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.

vereinfachen. Der Wert von f ist positiv für Sammellinsen und negativ für Zerstreulinsen. Der Kehrwert der Brennweite entspricht der Vergenz eines kollimierten Strahls und wird auch als die Brechkraft ("Stärke") der Linse bezeichnet, und in Dioptrien (Einheit 1/Meter) gemessen. Linsen, die auf einer Seite konkav, auf der anderen Seite konvex sind, und deren Krümmungsradien beider Flächen gleich sind, haben eine Linsenstärke von Null, oder eine unendliche Brennweite.

Eine wichtige Eigenschaft einer Linse ist das Prinzip von der Umkehrung des Lichtweges: Wenn ein von einer Seite einfallender Lichtstrahl entlang seines Weges verfolgt wird, so wird ein entgegengesetzt einfallender Lichtstrahl diesen Weg genau umgekehrt durchlaufen.

Die ABCD-Matrix einer (dünnen) Linse ist $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac {1}{f} & 1 \end{bmatrix}$.

Linsensysteme

Optische Systeme (Mikroskope, Fernrohre) enthalten immer mehrere Linsen. Meistens werden, um Abbildungsfehler (Aberration) zu verhindern, auch theoretisch denkbare Einzellinsen aus mehreren Komponenten zusammengesetzt. Für zwei einander berührende Linsen, die natürlich an den Berührflächen die gleiche Krümmung besitzen müssen, lässt sich die gesamte Brennweite F, genannt Gaußsche Brennweite, aus der Brennweite der einzelnen Linsen f₁ und f₂ mittels

$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} -\frac{d}{f_1f_2}$

• d = Abstand der Linsen

bestimmen (gilt nur für dünne Linsen).

Oberflächenvergütung

Bei einer realen Linse wird ein Teil des Lichtes an der Oberfläche reflektiert. Durch Oberflächenvergütung kann dieser Effekt minimiert werden.

Andere Linsentypen

• Flüssiglinse
• Fourierlinse
• Fresnellinse: Dient dem parallelen Ausrichten eines Lichtstrahls, etwa im Tageslichtprojektor oder im Leuchtturm. Auch Scheinwerfer nutzen ihr Prinzip.
• Gaslinse: die durch die Dichte beeinflusste optische Dichte von Gasen wird genutzt, um hochenergetische Laserstrahlung zu fokussieren. Hierzu wird das Licht durch ein rotierendes Rohr geleitet, in dem das mitbewegte Gas aufgrund des Bernoulli-Effekts Linseneigenschaften annimmt.
• Gravitationslinse: Kann durch ein massereiches astronomisches Objekt wie etwa ein Schwarzes Loch gebildet werden. Vereinzelt werden dadurch ferne Galaxien als Kreisbögen oder in mehrere Punkte verzerrt.
• Diffraktive optische Elemente (DO-Glieder) werden vereinzelt in Objektiven für Spiegelreflexkameras eingesetzt.

Aufgrund der Wellennatur der Materie kann man auch mit Teilchen Optik betreiben. Eine Anwendung geschieht im Elektronenmikroskop, wo speziell angeordnete elektrische Felder und magnetische Felder Elektronen ablenken.

Siehe auch

• Spiegel
• Linsengleichung
• Dünne Linse

Literatur

• Heinz Haferkorn: Optik. 4. Auflage, WILEY-VCH Verlag, Weinheim 2003 ISBN 3527403728
• Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optik, Springer Verlag, Berlin 1988 ISBN 3540189114
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2002 ISBN 3540651969

Weblinks

• Brillenglas-Kompendium Umfassende Infos zu Brillenglas-Grundlagen
• Optische Bank bei www.schulphysik.de
• www.wissenschaft.de: Erst abdrücken, dann scharfstellen - Mikrolinsen ermöglichen scharfe Bilder ohne vorheriges Fokussieren
• Linsentypen, deren Eigenschaften und Anwendungsbeispiele - Gute Gesamtübersicht mit kurzer Erläuterung zu Abbildungsfehlern
• Fachstelle der Wasser und Schifffahrtsverwaltung für Verkehrstechniken Linsen und Optiken für Leuchtfeuer
• Uni Basel, imaging & media lab: Skript - Optik und Kamera (ideale Linse Teil 3 und Teil 4)