- Konvergenzkriterien
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In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe gemeint. Mit einigen dieser Kriterien kann auch die Divergenz einer Reihe bewiesen werden.
Dabei werden drei Arten von Kriterien unterschieden:
- Die direkten Kriterien, die aus Eigenschaften der Folge selbst auf Konvergenz schließen,
- Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen und
- Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.
Bekannte Konvergenzkriterien sind:- Direkte Kriterien:
- Trivialkriterium (Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe)
- Kriterium der monotonen Konvergenz (Eine Reihe mit positiven reellen Gliedern und beschränkten Partialsummen konvergiert, Grenzwert ist das Supremum der Partialsummen)
- Leibniz-Kriterium
- Cauchykriterium
- Kriterium von Abel
- Kriterium von Dirichlet
- Vergleichskriterien 1. Art
- Vergleichskriterien 2. Art
- Kriterium von Kummer
- Quotientenkriterium
- Kriterium von Raabe
- Kriterium von Gauß
- Kriterium von Bertrand
Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung. Einen Überblick gibt die Tabelle:
Kriterium nur auf monotone Folgen anwendbar Konvergenz Divergenz absolute Konvergenz Abschätzung Fehlerabschätzung Trivialkriterium x Kriterium der monotonen Konvergenz x x x Leibniz-Kriterium x x x x Cauchykriterium x x Majorantenkriterium x x Minorantenkriterium x Integralkriterium x x x x x Wurzelkriterium x x x x Cauchysches Verdichtungskriterium x x x x Grenzwertkriterium x x Kriterium von Kummer x x x Quotientenkriterium x x x x Kriterium von Raabe x x x Kriterium von Gauß x x x Kriterium von Betrand x x x Literatur
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Aufl., Springer 1996
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