Kovarianzanalyse (Strukturanalyse)

Die Kovarianzanalyse ist in der Strukturmechanik eine Methode für die Untersuchung von Tragwerken, die durch eine stochastische dynamische Last beansprucht werden. Mit ihr werden statistische Kennwerte (Varianzen und Kovarianzen) für die Beurteilung der Tragwerksbeanspruchung bestimmt.

Übersicht der Methoden für die stochastische dynamische Strukturanalyse

Zeitbereichsintegration

Diese Methode (nach der englischen Bezeichnung auch Time-History-Verfahren genannt) beruht auf einer Integration der Bewegungsgleichung. Wie jeder dynamische Vorgang, so können auch stochastische Belastungen auf diese Art gerechnet werden. Um statistisch aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten, muss allerdings eine lange Zeitreihe analysiert werden, was diese Methode rechenintensiv und zeitaufwändig macht.

PSD-Methode

Dieses Verfahren arbeitet im Frequenzbereich. Grundlage ist die spektrale Leistungsdichte oder Leistungsspektraldichte (engl.: power spectral density / PSD) der Belastung. Vorab muss also eine Umwandlung der Lastzeitreihen erfolgen. Über den Frequenzgang des Systems, der die Tragwerksstruktur beschreibt, wird die Leistungsspektraldichte der Tragwerksantwort (Verschiebung, Schnittgröße, Spannung) berechnet. Diese Methode ist deutlich schneller und statistisch aussagekräftiger als eine Zeitbereichsintegration. Allerdings erhält man als Ergebnis nur das Spektrum der Tragwerksantwort eines Freiheitsgrades. Bei mehreren Antwortfunktionen steigt der Rechenaufwand entsprechend an; man muss vorab wissen, welche Stelle am Tragwerk wichtig ist.

Kovarianzanalyse

Diese Methode verwendet eine Filterdarstellung der Belastung. Die Lastzeitreihe wird analysiert und ein Formfilter identifiziert. Grundlage hiervon sind die Verwandten der spektralen Leistungsdichte im Zeitbereich, die Korrelationsfunktionen. Ergebnis der Kovarianzanalyse sind die Varianzen und Kovarianzen der Tragwerksantwort von allen Strukturfreiheitgraden.

Beschreibung der Kovarianzanalyse

Filterdarstellung

Grundlage der Kovarianzanalyse ist die gleichwertige Darstellung von Last und Tragwerk als Filter. Für die Last wird ein Formfilter $\mathbf S_1 \left( {\mathbf A_1,\mathbf B_1,\mathbf C_1,\mathbf D_1} \right)$ identifiziert, und die Tragwerksdaten werden in Zustandsraumdarstellung zu einem Strukturfilter $\mathbf S_2 \left( {\mathbf A_2,\mathbf B_2,\mathbf C_2,\mathbf D_2} \right)$ umgeformt. Dann können die beiden Filtermodelle zu einem Gesamtfilter $\mathbf S_G \left( {\mathbf A_G,\mathbf B_G,\mathbf C_G,\mathbf D_G} \right)$ kombiniert werden, das gaußisches weißes Rauschen als Systemeingang hat.

Lyapunovgleichung

Aus mathematischer Sicht entspricht die Kovarianzanalyse einer Lösung der kontinuierlichen Lyapunovgleichung:

$\mathbf A_G\cdot\mathbf P_{z_Gz_G}+\mathbf P_{z_Gz_G}\cdot \mathbf A_G^T+\mathbf B_G\cdot \mathbf B_G^T=0$

Dabei sind $\mathbf A_G$ und $\mathbf B_G$ die Systemmatrizen des Gesamtfilters und $\mathbf P_{z_Gz_G}$ ist die mit dem Zustandsvektor des Systems

$\mathbf z_G(t) = \begin{pmatrix} \mathbf x(t) \\ \dot{\mathbf x}(t) \\ \mathbf z_1(t) \end{pmatrix}$

korrespondierende Kovarianzmatrix. $\mathbf x(t)$ und $\dot{\mathbf x}(t)$ der Verschiebungsvektor beziehungsweise der Geschwindigkeitsvektor der Struktur. $\mathbf z_1(t)$ ist der Systemvektor des Lastfilters. Die Kovarianzmatrix enthält unter anderem die Varianzen und Kovarianzen der Tragwerksverschiebungen $\mathbf P_{xx}$ und Tragwerksgeschwindigkeiten $\mathbf P_{\dot x\dot x}$.

$\mathbf P_{z_Gz_G} = \begin{pmatrix} {\mathbf P_{xx}}&{\mathbf P_{x\dot x}}&{\mathbf P_{xz_1}} \\ {\mathbf P_{\dot xx}}&{\mathbf P_{\dot x\dot x}}&{\mathbf P_{\dot xz_1}} \\ {\mathbf P_{z_1x}}&{\mathbf P_{z_1\dot x}}&{\mathbf P_{z_1z_1}} \end{pmatrix}$

Berechnung höherer spektraler Momente

Durch Erwartungswertbildung kann aus der Kovarianzmatrix $\mathbf P_{z_Gz_G}$ die Matrix $\mathbf P_{\dot z_G\dot z_G}$ gewonnen werden, welche die Varianzen und Kovarianzen der Tragwerksbeschleunigungen $\mathbf P_{\ddot x\ddot x}$ enthält:

$\begin{align} P_{\dot z_G\dot z_G} & = E\left[ {\dot{\mathbf z}_G \cdot \dot{\mathbf z}_G^T} \right] \\ & = \mathbf A_G \cdot E\left[ {\mathbf z_G \cdot \mathbf z_G^T} \right] \cdot \mathbf A_G^T + \mathbf A_G \cdot E\left[ {\mathbf z_G \cdot \mathbf w^T} \right] \cdot \mathbf B_G^T \\ & + \mathbf B_G \cdot E\left[ {\mathbf w \cdot \mathbf z_G^T} \right] \cdot \mathbf A_G^T + \mathbf B_G \cdot E\left[ {\mathbf w \cdot \mathbf w^T} \right] \cdot \mathbf B_G^T \\ & = \mathbf A_G \cdot \mathbf P_{z_Gz_G} \cdot \mathbf A_G^T + \mathbf B_G \cdot \mathbf B_G^T \end{align}$

Die Matrix $P_{\dot z_G\dot z_G}$ ist folgendermaßen aufgebaut:

$\mathbf P_{\dot z_G\dot z_G} = \begin{pmatrix} {\mathbf P_{\dot x\dot x}} & {\mathbf P_{\dot x\ddot x}} & {\mathbf P_{\dot x\dot z_1}} \\ {\mathbf P_{\ddot x\dot x}} & {\mathbf P_{\ddot x\ddot x}} & {\mathbf P_{\ddot x\dot z_1}} \\ {\mathbf P_{\dot z_1\dot x}} & {\mathbf P_{\dot z_1\ddot x}} & {\mathbf P_{\dot z_1\dot z_1}} \end{pmatrix}$

Die Varianzen für Tragwerksverschiebungen, Tragwerksgeschwindigkeiten und Tragwerksbeschleunigungen sind die spektralen Momente der Tragwerksverschiebungen. Für die Bestimmung der Tragwerksschnittgrößen und –spannungen können noch höhere spektrale Momente berechnet werden. Die spektralen Momente bilden die Grundlage für verschiedene Nachweisverfahren der stochastischen Strukturanalyse, beispielsweise für die Berechnung der Schädigungen beim Ermüdungsnachweis. Viele analytische Methoden zur Bestimmung der Zyklenanzahl (Rice, Dirlik) verwenden die spektralen Momente.

Siehe auch

• Kovarianzmatrix