Weißes Rauschen

Weißes Rauschen ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung zufälliger Schwankungserscheinungen (Rauschen). Es findet häufige Anwendung in den Ingenieur- und Naturwissenschaften, z.B. für die Beschreibung von thermischem Rauschen an elektrischen Widerständen. Charakteristisch für Weißes Rauschen ist ein konstantes Leistungsdichtespektrum

$S(f) = const.\,$

Zufallsvorgänge werden in der Mathematik mit den Methoden der Stochastik beschrieben. Die Leistung eines stochastischen Signals erhält man, wenn man das Leistungsdichtespektrum von minus unendlich bis plus unendlich integriert. Das weiße Rauschen im theoretischen Sinne hat unendlich viel Leistung und somit unendliche Signalenergie. Daher ist das weiße Rauschen nur als ein theoretisches Modell anzusehen. In der Praxis fällt bei Rauschprozessen die Leistungsdichte für sehr große Frequenzen ab, da sich die Signalamplitude nicht beliebig schnell ändern kann.

Die Autokorrelationsfunktion von weißem Rauschen ist ein Dirac-Impuls an der Stelle Null. Das heißt, für beliebig kleine t' > 0 gilt: Was zum Zeitpunkt t + t' geschieht, ist absolut unabhängig davon, was zum Zeitpunkt t geschehen ist. Weißes Rauschen ist daher nicht selbstähnlich.

Rauschen in verschiedenen Fachgebieten

• Akustik: ein subjektiv wahrgenommenes Signal, als ob die Amplitude mit der Frequenz anstiege, da im menschlichen Gehör die Empfindlichkeit bis in die Nähe einer, von der jeweiligen Person abhängigen, Grenzfrequenz mit zunehmender Frequenz logarithmisch ansteigt, obwohl beim weißen Rauschen die Amplitude der Frequenzen idealerweise konstant ist. Das weiße Rauschen ist ein Grenzfall des farbigen Rauschens, bei dem der wahrgenommene Frequenzbereich den gesamten Hörbereich umfasst. Der Höreindruck gleicht dem eines stimmlosen 'sch'. Subjektiv hat weißes Rauschen auf das Gehör eine leicht betäubende Wirkung, so dass es sich als Methode zur Lärmbekämpfung etabliert hat – Lärm wird als weniger laut und störend empfunden, wenn man ihm weißes Rauschen überlagert. Eine empfundene Gleichverteilung der Frequenzen wird demgegenüber mit dem rosa Rauschen erreicht, das physikalisch gesehen abnehmende Amplituden mit steigender Frequenz erzeugt.
• Stochastik: in der Stochastik bezeichnet der Name weißes Rauschen einen diskreten stochastischen Prozess von unkorrelierten Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz. Es ist somit schwach stationär. Das weiße Rauschen stellt den einfachsten stochastischen Prozess dar, jedoch werden viele komplexere Prozesse und Zeitreihen aus solchen konstruiert, etwa der Random Walk oder ARMA-Prozesse. Ein Spezialfall ist hierbei das gaußsche weiße Rauschen, hier sind die Zufallsvariablen normalverteilt.
• Wahrscheinlichkeitstheorie: in der Wahrscheinlichkeitstheorie versteht man unter weißem Rauschen einen verallgemeinerten stochastischen Prozess, der als distributionelle Ableitung einer reellen brownschen Bewegung definiert werden kann.

Elektroakustik und physiologische Wirkung

Weißes Rauschen hat eine Spektralverteilung mit konstanter Leistung pro Bandbreiteneinheit, angegeben in Hz. Der 20-Hz-Bereich zwischen 20 und 40 Hz enthält die gleiche Rauschleistung wie der 20-Hz-Bereich zwischen 10 kHz und 10,02 kHz. Der theoretische Frequenzbereich von weißem Rauschen geht vom Grenzwert 0 Hz (Gleichspannung) bis zu unendlich hohen Frequenzen. In der Praxis wird bandbegrenztes weißes Rauschen benutzt. Die Psychoakustik lehrt, dass das Gehör aus einer Reihe von Bandpassfiltern besteht, deren Bandbreite nicht absolut in Hz, sondern relativ als Verhältnis zwischen unterer und oberer Bandgrenze näherungsweise konstant ist. Die absolute Bandbreite in Hz nimmt also nach höheren Frequenzen hin zu und damit auch die zugeordnete Leistung pro Band bei weißem Rauschen. Folglich klingt weißes Rauschen stark höhenbetont.

Etymologie: Farbanalogie

Beim weißen Rauschen ist der Spektralverlauf mit konstanter Amplitude in Analogie zum weißen Licht, wo alle Lichtwellenlängen mit der gleichen Helligkeit vorhanden sind, entsprechend ist die Namensgebung beim rosa Rauschen und beim roten Rauschen.

Beispiele

Weißes Rauschen kann visualisiert werden, indem eine diskrete zweidimensionale komplexe Funktion mit konstanter Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Transformierten kann sowohl einfarbig (Graustufen) als auch getrennt für die drei Farbkanäle als RGB-Signal ausgegeben werden.

Weißes Rauschen kann auch hörbar gemacht werden, indem eine diskrete eindimensionale komplexe Funktion mit konstanter Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Transformierten kann sowohl monophon als auch stereophon ausgegeben werden.

	Weißes Rauschen
Eindimensionales Rauschsignal
Zweidimensionales, farbiges Rauschsignal
Zweidimensionales, graustufiges Rauschsignal
Hörbeispiel, mono

Siehe auch

• Additives weißes gaußsches Rauschen
• Rosa Rauschen (1/f Rauschen)
• Rotes / Braunes Rauschen (1/f² Rauschen)
• Signal-Rausch-Verhältnis
• Signalmittelung
• Maximum Length Sequence
• Formfilter
• Audacity: Software, mit der unter anderem weißes Rauschen im akustischen Bereich generiert werden kann.

Literatur

• Helmut Röder, Heinz Ruckriegel, Heinz Häberle: Elektronik 3.Teil, Nachrichtenelektronik. 5. Auflage, Verlag Europa Lehrmittel, Wuppertal 1980, ISBN 3-8085-3225-4
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4
• Michael Dickreiter, Volker Dittel, Wolfgang Hoeg, Martin Wöhr: Handbuch der Tonstudiotechnik. 7. völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage, Herausgegeben von der ARD.ZDF medienakademie, Nürnberg, 2 Bände, K G Saur, München 2008, ISBN 3-598-11765-5 oder ISBN 978-3-598-11765-7
• Thomas Görne: Tontechnik. 1. Auflage, Carl Hanser Verlag, Leipzig 2006, ISBN 3-446-40198-9

Weblinks

• Weißes Rauschen - Rauschspannung in Volt und dB
• Free white noise generator