Langmuir-Child-Gesetz

Kurzbeschreibung

Das Raumladungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung einer evakuierten Zweielektrodenanordnung bei raumladungsbegrenztem Betrieb (z. B. Röhrendiode mit Glühkathode). Es gilt

$I=K U^{\frac {3}{2}}$,

wobei I und U Anodenstrom bzw. -spannung bezeichnen. Der Faktor K, die sogenannte Raumladungskonstante oder Perveanz der Diode, ist eine lediglich von der Gestalt der Elektrodenanordnung abhängige Größe und somit eine Röhrenkonstante.

Das Raumladungsgesetz verliert seine Gültigkeit bei zu geringer Kathodenergiebigkeit oder zu hoher Anodenspannung.

Wegen der frühen Arbeiten von Clement Child und Irving Langmuir über Entladungserscheinungen wird das Raumladungsgesetz manchmal auch Langmuir-Child-Gesetz genannt.

• Clement Dexter Child: "Discharge from Hot CaO", Physical Review, 1st Ser. Vol. 32, (1911)
• Irving Langmuir: "The Effect of Space Charge and Residual Gases on Thermionic Currents in High Vacuum", Physical Review, 2nd Ser. Vol. 2, (1913)

Herleitung des Raumladungsgesetzes

Man betrachte zwei beliebig geformte Elektroden im Vakuum, von denen die eine (geheizte, beliebig ergiebige Kathode) auf das Potential φ = 0 (erste Randbedingung) und die andere (Anode) auf das Potential φ = U (Anodenspannung, zweite Randbedingung) gelegt wurde. Aus physikalischen Gründen muss das zugehörige Entladungsproblem eindeutig lösbar sein. Sei $\phi_0(\mathbf{r})$ die Lösung für die Anodenspannung U = U₀, dann gilt nach den Gesetzen der Magnetohydrodynamik bei Vernachlässigung der Austrittsgeschwindigkeit und der relativistischen Massenzunahme der Elektronen für die restlichen Felder

$v_0=\sqrt{2\eta_0\phi_0}, \quad \rho_0=-\epsilon_0\Delta\phi_0, \quad J_0=-\rho_0 v_0, \quad I_0=\int J_0 {\rm d}A,$

wobei über die gesamte Anodenoberfläche (Anschlussdraht ausgeschlossen) zu integrieren ist. Offenbar ist nun φ = aφ₀ eine Lösung für U = aU₀ bei beliebiger Wahl der nicht negativen Zahl a, und für die anderen Felder gilt

$v = \sqrt{2\eta_0\phi} = \sqrt{a}\phi_0, \quad \rho = -\epsilon_0\Delta\phi = a\rho_0, \quad J = -\rho v = a^{\frac {3}{2}}J_0, \quad I = \int J {\rm d}A = a^{\frac {3}{2}}I_0 = \left(\frac{U}{U_0}\right)^{\frac {3}{2}} I_0 = \frac{I_0}{U_0^{\frac {3}{2}}} U^{\frac {3}{2}}.$

Da eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt war, ist mit φ = aφ₀ nicht nur eine, sondern die Lösung des Entladungsproblems für U = aU₀ gegeben. Weil a beliebig gewählt werden kann, hat man sogar alle Lösungen des Problems vorliegen, sobald nur eine einzige bekannt ist. Nun ist I₀ bei gegebener Spannung U₀ sicherlich von der Gestalt der Anordnung abhängig, $I_0/U_0^{3/2}$ ist also eine Konstante der Anordnung, und für den Anodenstrom gilt damit

$I = K U^{\frac {3}{2}}, \quad K = \frac{I_0}{U_0^{\frac {3}{2}}}.$

Das Raumladungsgesetz impliziert offenbar eine unendlich hohe Ergiebigkeit der Kathode, denn für $U\to\infty$ folgt aus ihm $I\to\infty$.