Limes inferior

Limes superior und limes inferior.

In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (x_n) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (x_n). Analog werden Limes superior und Limes inferior von reellwertigen Funktionen definiert. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Formale Definition

Formal wird der Limes inferior einer Folge (x_n) definiert als

$\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\geq 0\}$

bzw. als

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$

und mit $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ oder auch mit $\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}x_n$ bezeichnet.

Diese Definitionen sind in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge (x_n), so ist $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n.$

Folgen reeller Zahlen

Für eine Folge reeller Zahlen müssen Limes inferior und Limes superior nicht existieren, da die reellen Zahlen keinen vollständigen Verband bilden. Wenn sie existieren, sind sie der kleinste bzw. der größte Häufungspunkt der Folge. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen $\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace$ betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Für eine Folge von reellen Funktionen $(f_n)_{\{n \in \N\}}$ mit $f_n\colon\R\rightarrow\R$ für $n \in \N$ sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert, d.h.

$(\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n)(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x),$

analog für lim sup.

Eine der bekanntesten mathematischen Aussagen, die den Begriff des Limes inferior verwenden, ist das Lemma von Fatou.

Folgen von Mengen

Limes superior und Limes inferior

Für eine beliebige Menge Ω bildet die Potenzmenge P(Ω) einen vollständigen Verband unter der durch die Teilmengenrelation definierten Ordnung. Der Limes inferior einer Folge (A_n) von beliebigen Teilmengen von Ω ist die Menge aller Elemente aus Ω, die in fast allen A_n liegen. Der Limes superior der Mengenfolge (A_n) ist die Menge aller Elemente aus Ω, die in unendlich vielen A_n liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

$\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)$

und

$\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).$

Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

Man kann sich die Formeln klar machen, wenn man zunächst Schnitt beziehungsweise Vereinigung endlicher Mengen betrachtet. Die rechte Seite der Gleichung für den Limes superior für n = 2 und n = 3 lautet

${\bigcap_{n=1}^2}\left({\bigcup_{m=n}^2}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\right)\cap A_2=A_2$

${\bigcap_{n=1}^3}\left({\bigcup_{m=n}^3}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\cap\left(A_2\cup A_3\right)\cap A_3=A_3$

In jedem Schritt wird eine weitere Menge aus der Vereinigung aller Mengen herausgeteilt. Zurück bleibt schließlich für alle endlichen n nur A_n. Im unendlichen bleiben nur Mengen übrig, die in unendlich vielen A_n vorkommen, weil diese niemals herausgeteilt werden können. Somit ist der Limes superior gerade der Teil, der in unendlich vielen A_n liegt.

Zusammenhang mit Folgen von Zahlen

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

$\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcup_nA_n$

und

$\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcap_nA_n$

folgt

$\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),$

analog für lim sup.

Konvergenz

Man sagt, die Folge (A_n) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt $A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$ oder auch $A_n\rightarrow A$. Eine Folge von Teilmengen einer Menge X konvergiert genau dann, wenn es zu jedem x einen Index N gibt, so dass entweder $x\in A_n$ für alle $n\geq N$ oder $x\notin A_n$ für alle $n\geq N$ gilt.

Monotone Konvergenz

Ist $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots$, dann kann man zeigen, dass (A_n) gegen eine Menge A konvergiert und man schreibt $A_n\uparrow A$.

Entsprechend kann man für $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$ zeigen, dass (A_n) gegen eine Menge A konvergiert und man schreibt $A_n\downarrow A$.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen

Ist eine reellwertige Funktion $f:I\to \R$ auf einem Intervall I gegeben und ξ ein innerer Punkt des Intervalls, so sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen $\bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$, die folgendermaßen definiert sind:^[1]

$\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a))$,

$\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a))$.

f((ξ − a,ξ + a)) bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls (ξ − a,ξ + a); a ist dabei so klein zu wählen, dass $(\xi-a,\xi+a)\subseteq I$.

Analog zu einseitigen Grenzwerten werden ein einseitiger Limes superior und ein einseitiger Limes inferior definiert:

$\limsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a))$,

$\liminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a))$,

$\limsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi))$,

$\liminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi))$.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen werden beispielsweise bei der Definition der Halbstetigkeit verwendet.

Quellen

1. ↑ Nelson Dunford and Jacob T. Schwartz. Linear Operators. Part I. General Theory. John Wiles and Sons, 1988, p. 4. ISBN 0-471-60848-3.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert), S. 93 (zu Folgen von Mengen).