Lindelöfsche Vermutung

Die lindelöfsche Vermutung ist eine 1905 von Ernst Leonard Lindelöf aufgestellte^[1] und bis heute unbewiesene Vermutung über die Ordnung der riemannschen Zetafunktion ζ(s) entlang der „kritischen Geraden“ 1 / 2 + it.

Die lindelöfsche Vermutung besagt, dass $\zeta(1/2 + i t) = \mathcal{O}(t^\epsilon)$ für $t \to \infty$ und jedes $\epsilon > 0$. Dabei ist $\mathcal{O}$ das Bachmann-Landau-Symbol.

Bisher konnten nur schwächere Aussagen der Form $\zeta(1/2 + i t) = \mathcal{O}(t^{k +\epsilon})$ bewiesen werden: Der 1930 von van der Corput und Koksma ermittelte Wert^[2] $k = 1/6 = 0,166\dots$ konnte seither schrittweise leicht verbessert werden, zuletzt auf $k=89/570 = 0,156\dots$ von Huxley^[3].

Die lindelöfsche Vermutung ist schwächer als die riemannschen Vermutung: Mit einem Beweis der riemannschen Vermutung wäre auch die lindelöfsche Vermutung bewiesen, nicht jedoch umgekehrt.

Literatur

• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function. 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford 1986, ISBN 0-19-853369-1.

Einzelnachweise

1. ↑ E. Lindelöf: Le calcul des résidus et ses applications dans la théorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris 1905.
2. ↑ J-G. Van der Corput, J.-F- Koksma: Sur l'ordre de grandeur de la fonction ζ(s) de Riemann dans la bande critique. Annales de la faculté des sciences de l'Université de Toulouse, 3^e série, Band 22, 1930, Seiten 1–39, PDF-Datei.
3. ↑ M. N. Huxley: Exponential Sums and the Riemann Zeta Function V. Proceedings of the London Mathematical Society 2005 90(1):1-41, doi:10.1112/S0024611504014959