- Lychrel-Zahl
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Bei den Lychrel-Zahlen handelt es sich um bestimmte natürliche Zahlen, die sich der Palindrombildung durch einen bestimmten Algorithmus, dem 196-Algorithmus widersetzen.
Der Name Lychrel stammt von Wade VanLandingham und hat keine besondere Bedeutung, außer, dass vor der Benennung dieser Zahlen Google kein Suchergebnis für Lychrel lieferte und es in keinem Wörterbuch verzeichnet war, außerdem ist es ein ungefähres Anagramm zu dem Namen der Freundin von VanLandingham („Cheryl“).
Inhaltsverzeichnis
Eigenschaften der Lychrel-Zahlen
Jede natürliche Zahl n, die nicht durch eine endliche Anzahl von Inversionen und Additionen zu einem Zahlen-Palindrom führt, wird als Lychrel-Zahl bezeichnet. Als Inversion versteht man hier das Bilden der spiegelverkehrten Zahl m. Führt die Addition n + m dabei zu einem Zahlen-Palindrom, ist der Algorithmus beendet. Falls nicht, wird durch erneute Inversion und Addition dieser Vorgang solange ausgeführt, bis das Ergebnis ein Palindrom ist.
Beispiele
- Man nimmt die Zahl 5273. Die spiegelverkehrte Zahl dazu lautet 3725 (Inversion). Durch Addition erhält man das Zahlen-Palindrom 8998.
- Bei anderen Zahlen dauert dieser Algorithmus länger:
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- 4753 + 3574 = 8327
- 8327 + 7238 = 15565
- 15565 + 56551 = 72116
- 72116 + 61127 = 133243
- 133243 + 342331 = 475574 (ein Palindrom)
- Die Lychrel-Zahlen widersetzen sich der Palindrombildung. Die kleinste Lychrel-Zahl ist vermutlich die Zahl 196. Ein mathematischer Beweis dafür, dass ausgehend von 196 die Inversion definitiv nie ein Palindrom ergeben wird, existiert bisher aber nicht. Auch die sehr große Anzahl von gerechneten Iterationen (knapp 725 Millionen) lässt keine Aussage über die Gültigkeit dieser Vermutung zu. Siehe unten.
Rekorde
- Nach der Anzahl der Iterationen, bei möglichst kleiner Anfangszahl
(Anfangszahl kleiner als 100.000, Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen)
Zahl Iter-
ationenPalindrom Stellen Zahl 1 1 1 2 5 2 2 11 59 3 4 1.111 69 4 4 4.884 79 6 5 44.044 89 24 13 8.813.200.023.188 10.548 30 17 17.858.768.886.785.871 10.677 53 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 10.833 54 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 10.911 55 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 Der Rekord liegt momentan bei 261 Iterationsschritten, dies benötigt die Zahl 1.186.060.307.891.929.990 (19 Stellen), um auf ein 119-stelliges Palindrom zu kommen.[1]
Berechnung
Bisher wurde der Algorithmus bei allen bis 18-stelligen Zahlen ausgeführt, bisher (5. April 2009) wurde er außerdem bei 43,083 Prozent aller 19-stelligen Zahlen angewandt (Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen)[1].
Lychrel-Zahlen
Die Lychrel-Zahlen widersetzten sich diesem Algorithmus, das heißt, dass – auch nach unendlich vielen Iterationsschritten – kein Palindrom entsteht.
Momentan existiert kein mathematisches Verfahren, um sicher festzustellen, ob eine Zahl eine Lychrel-Zahl ist, so dass bis heute nicht einmal sicher ist, ob sie überhaupt existieren.
- Kleinster gefundener Kandidat für die Lychrel-Zahlen
Die kleinste Zahl, die durch den 196-Algorithmus bisher noch nicht in ein Palindrom umgewandelt werden konnte, ist die 196 (daher auch die Bezeichnung 196-Algorithmus). Da dies der erste Lychrel-Kandidat ist, ist diese Zahl bisher am besten untersucht. Bis zum 1. Mai 2006 berechnete Wade VanLandingham elektronisch 724.756.966 Iterationen, ausgehend von der 196. Die letzte Ergebniszahl hatte 300.000.000 Stellen und war immer noch kein Palindrom. Die Berechnung begann im August 2001 und dauerte fast 5 Jahre, wobei hier erwähnt werden muss, dass man damals schon auf eine schon durchgeführte Berechnung bis zu einem 14.000.000-stelligem Ergebnis (33.824.775 durchgeführte Iterationen) zurückgreifen konnte, dessen erste Ergebnisse schon Anfang der 90er Jahre ausgerechnet wurden.[2]
- Weitere Kandidaten für die Lychrel-Zahlen kleiner als 3000 sind
- zwischen 197 und 999:
295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986 - zwischen 1000 und 1999:
1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997 - zwischen 2000 und 2999:
2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996
- Verteilung der Kandidaten für Lychrel-Zahlen
Anzahl der
KandidatenZahlenraum 13 0 bis 999 13 1000 bis 1999 13 2000 bis 2999 13 3000 bis 3999 23 4000 bis 4999 24 5000 bis 5999 24 6000 bis 6999 29 7000 bis 7999 50 8000 bis 8999 44 9000 bis 9999 Weblinks
- Webseite über die Lychrel-Zahlen (englisch)
- Seite über Rekorde und Entwicklungen im Bereich Lychrel-Zahlen (englisch)
- Online-Rechenprogramm für den 196-Algorithmus (englisch), Zahl einfach nach dem URL (http://www.jasondoucette.com/pal/) eingeben
- http://www.p196.org/files.html (englisch) bietet u. a. die Möglichkeit, sich alle bis zu einschließlich 5-stelligen Zahlen und die Anzahl an Iterationsschritten, die sie benötigen, um auf ein Palindrom zu kommen, herunterzuladen (Abschnitt „Palindrome Delays“)
Einzelnachweise
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