- Zahlenpalindrom
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Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 ...|... a3a2a1 für Zahlen mit der Basis a verwendet.
Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.
Inhaltsverzeichnis
Palindrome im Dezimalsystem
Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.
Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:
- {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen
- {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}
sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:
- {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},
Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9+9+90+90=198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9+9+90+90+900=1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n=6),10998 (für n=7 usw.),19998,109998,199998,1099998, ...
Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerb Mathematik 2009 zu beweisen war.[1]
Erzeugung von Zahlenpalindromen
Quadrieren von 1-er Zahlen
Im Dezimalsystem erhält man durch
- ([1]n)2
Palindromzahlen, wobei [1]n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.
1 * 1 = 1 11 * 11 = 121 111 * 111 = 12321 1111 * 1111 = 1234321 11111 * 11111 = 123454321 111111 * 111111 = 12345654321 1111111 * 1111111 = 1234567654321 11111111 * 11111111 = 123456787654321 111111111 * 111111111 = 12345678987654321 Umkehrung und Addition
Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:
- Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48).
- Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
- Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
- Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)
Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten (bis 10.000 maximal 24 Schritte) ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.
Palindrome bei Transformation des Zahlensystems
Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.
Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen größer 10), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.
Basis Dezimalzahl Zahl in anderem Zahlensystem 4 13 31 7 23 32 46 64 2.116 6.112 15.226 62.251 9 445 544 313.725 527.313 3.454.446 6.444.543 12 315.231 132.513 13 43 34 86 68 774 477 16 (Hexadezimal) 53 35 371 173 5141 1415 99.481 18.499 19 21 12 42 24 63 36 84 48 441 114 882 288 7.721 1.277 9.471 1.749 21 551 155 912 219 22 73 37 511 115 25 83 38 28 31 13 62 26 93 39 961 169 37 41 14 82 28 46 51 15 55 61 16 64 71 17 73 81 18 82 91 19 Siehe auch
Literatur
- Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers: CRC Press 1986, ISBN 0852744951, S. 61 (eingeschränkte Online-Version (Google Books))
Einzelnachweise
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Zahlenpalindrom. In: MathWorld. (englisch)
- Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen
- Zahlen-Palindrome (interaktiv)
- Zahlen-Palindrome
- Eine nette Spielerei mit der Eins
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