Masseverteilung

Physikalische Größe
Name	Masse
Formelzeichen der Größe	m
Formelzeichen der Dimension	M
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Kilogramm (kg) M CGS Gramm (g) M

Die Masse ist eine Eigenschaft der Materie und eine physikalische Grundgröße. Ihre internationale Einheit ist das Kilogramm. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Masse häufig als Gewicht bezeichnet.

Schwere und träge Masse

Die Masse ist eine Ursache von Gravitation („schwere Masse“) und ein Maß für die Trägheit eines Körpers, das heißt seinen Widerstand gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands („träge Masse“).

Die experimentell bestätigte Gleichheit von träger und schwerer Masse ist in der klassischen Mechanik unerklärt und wird erst in der Allgemeinen Relativitätstheorie verstanden.

In Newtons Mechanik und in der Chemie gilt der Massenerhaltungssatz. Dort ist die Masse eines Teilchens eine für das Teilchen charakteristische, unveränderliche Größe, die nicht mit Größen zusammenhängt, die sich wie sein Ort und seine Geschwindigkeit mit der Zeit ändern können.

In der relativistischen Physik bestimmt die Masse die Energie des ruhenden Teilchens. Diese Ruheenergie kann zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall in andere Energieformen umgewandelt werden. Dabei nimmt die Masse ab: die Summe der Massen der Zerfallsprodukte ist geringer als die Masse des Ausgangsteilchens.

Definition

Mit der Masse eines Körpers sind zwei Eigenschaften verbunden:

1. der Körper setzt jeder Bewegungsänderung einen Widerstand entgegen – er ist träge.
2. zwei Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse gegenseitig an. Diese gravitative Anziehungskraft nennt man bei extremem Unterschied der Körpermassen die Gewichtskraft des leichteren Körpers.

Die Trägheit und die Gewichtskraft eines Körpers werden in der nichtrelativistischen Physik durch seine träge und schwere Masse bestimmt. Allerdings sind auch masselose Teilchen, wie das Photon, träge, werden von Gravitationsfeldern abgelenkt und verursachen in der Allgemeinen Relativitätstheorie Gravitation.

Die SI-Basiseinheit der Masse Kilogramm (kg) wird über eine Referenzmasse definiert: Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

Messung

Die Messung der schweren Masse eines ruhenden Körpers erfolgt durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie in einem homogenen Gravitationsfeld die gleiche Gewichtskraft erfahren. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Gravitationsfeldes unerheblich, es muss nur an den Orten der beiden Massen gleich und von Null verschieden sein.

Die schwere Masse kann auch mit der Kraft $\vec{F}$ gemessen werden, die in einem Gravitationsfeld erforderlich ist, damit das Teilchen ruhen bleibt und nicht fällt. Dabei ist, anders als beim Vergleich zweier Gewichtskräfte, die Kenntnis des Gravitionsbeschleunigung (durch Beobachtung der Bahnen frei fallender Teilchen) am Ort der Messung notwendig.

Wie jede Kraft misst man die Gewichtskraft in Newton.

Die träge Masse lässt sich zum Beispiel durch die Kraft messen, die erforderlich ist, damit ein Teilchen mit gleichmäßiger Geschwindigkeit eine Kreisbahn durchläuft. Bei einem geladenen Teilchen im Magnetfeld kann man bei bekannter Geschwindigkeit und Magnetfeldstärke am Kreisradius das Verhältnis von Ladung zu träger Masse ablesen.

Entwicklung des Massenbegriffs

Newtonsche Mechanik

Die newtonsche Mechanik erklärt die Äquivalenz von schwerer und träger Masse nicht. Sie tritt als empirische Tatsache auf, ebenso wie die Massenerhaltung.

Als schwere Masse m_s bezeichnet man die Quelle der Gravitationskraft. Die von der Masse M_s auf die Masse m_s ausgeübte Kraft ist

$\vec{F} = G\frac{m_\mathrm{s} M_\mathrm{s}}{|\vec{r}|^2} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und $\vec{r}$ der Vektor von m_s nach M_s ist. G ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante.

Die träge Masse m ist in der newtonschen Mechanik der Proportionalitätsfaktor zwischen Impuls $\vec{p}$ und Geschwindigkeit $\vec{v}\,.$

$\vec{p} = m \vec{v}\,.$

Da der Impuls erhalten ist, benötigt jede Geschwindigkeitsänderung einen Impulsübertrag. Der Impulsübertrag pro Zeit ist die Kraft $\vec{F}\,.$ Da sich der Impuls mit der Zeit um den übertragenen Impuls ändert, lautet die Bewegungsgleichung

$\vec{F} = \frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t}\,.$

Sie gilt allgemein, auch in relativistischer Physik, allerdings ist dort der Impuls nicht einfach Masse mal Geschwindigkeit, sondern hängt nichtlinear von der Geschwindigkeit ab.

Für geringe Geschwindigkeiten, wie sie im Alltag vorkommen, ist die Massenänderung über der Zeit vernachlässigbar klein. Dann vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“

$\vec{F} = m \vec{a}\,.$

Dies gilt aber nicht in relativistischer Physik oder für Körper mit zeitlich veränderlichen Massen, wie etwa eine Rakete.

Spezielle Relativitätstheorie

Der Begriff der schweren Masse tritt in der speziellen Relativitätstheorie nicht auf. Sie befasst sich mit der Dynamik von Körpern unter Vernachlässigung von Gravitation.

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls $\mathbf p$ nicht mehr Masse m mal Geschwindigkeit $\mathbf v$, sondern beträgt bei Teilchen, die langsamer sind als Licht,

$\mathbf p = \frac{m\,\mathbf v}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,.$

Ein heute noch in der Experimentalphysik und der populären Literatur häufig verwendeter Begriff ist die relativistische Masse

$M(\mathbf{v}) = \frac{m}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,.$

Diese Bezeichnung wird jedoch in der theoretischen Physik gemieden, da die relativistische Masse, in das newtonsche Gravitationspotential oder Kraftgesetz $\mathbf F=m\, \mathbf a$ eingesetzt, zu unzutreffenden Gleichungen führt.

Die Kraft $\mathbf F$ bewirkt in der speziellen Relativitätstheorie die zeitliche Änderung des Impulses

$\mathbf F = \frac{\mathrm{d}\mathbf p}{\mathrm{d}t} = \frac{m\,\mathbf a}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}} + \frac{m\,\mathbf v\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})}{c^2\,(\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2})^3}$

oder, nach der Beschleunigung $\mathbf a$ aufgelöst,

$\mathbf a = \frac{1}{\sqrt{m^2+\mathbf p^2/c^2}} \bigl(\mathbf F - \mathbf v (\mathbf v \cdot \mathbf F)/c^2\bigr)\,.$

Man sieht, dass die Beschleunigung $\mathbf a$ nicht immer in die Richtung der Kraft zeigt, sondern auch einen Anteil in Richtung der Geschwindigkeit hat. Eine ausweislich ihres Rückstoßes gleiche Kraft $\mathbf F$ bewirkt bei unterschiedlicher Geschwindigkeit des Teilchens eine unterschiedliche Beschleunigung.

Die träge Masse ist also kein Proportionalitätsfaktor von Kraft und Beschleunigung. Die unterschiedliche Trägheit in Bewegungsrichtung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter m in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die träge Masse. Sie wird historisch Ruhemasse, in moderner Sprechweise auch invariante Masse oder einfach Masse genannt.

Die Masse verknüpft die Energie E und den Impuls über die Energie-Impuls-Beziehung

$\left(m\, c^2\right)^2 = E^2 - \mathbf{p}\,^2 c^2.$

Für einen ruhenden Körper ($\mathbf p = 0$) wird daraus Einsteins berühmte Gleichung $E_{\text{Ruhe}}=m\, c^2$, welche die Äquivalenz von Masse und Energie ausdrückt.

Lichtschnelle Teilchen sind masselos. Ihr Impuls ist nicht durch die obige Funktion der Geschwindigkeit gegeben, sondern genügt der Energie-Impuls-Beziehung $E = |\mathbf{p}| c\,.$ Auch masselose, lichtschnelle Teilchen sind träge und benötigen zur Beschleunigung Kraft. In Bewegungsrichtung sind sie sogar unendlich träge: durch keine Kraft in Bewegungsrichtung können sie (auf einer differenzierbaren Bahn) beschleunigt werden.

Massenvielfache

Weil die Energie eines ruhenden Teilchens durch seine Masse festgelegt ist, stimmt die Masse zusammengesetzter Teilchen nicht unbedingt mit der Summe der Massen der Bestandteile überein.

Nur wenn die Bindungsenergie, die beim Zusammensetzen frei wird, so klein ist, dass sie sich nicht messbar auf die Gesamtmasse auswirkt, ist die Gesamtmasse die Summe der Massen der Bestandteile. Das ist bei chemisch gebundenen Molekülen der Fall: die Masse eines Moleküls ist die Summe der Massen der gebundenen Atome.

Bei Atomkernen ist das messbar falsch: die Bindungsenergie zeigt sich dort als Massendefekt, dass nämlich die Massensumme der Protonen und Neutronen, die den Kern ausmachen, (um etwa ein Prozent) größer als die Kernmasse ist.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Teilchen im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Kräfte bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. An der Größe der Kraft, mit der Teilchen vom freien Fall abgehalten werden, zeigt sich ihre träge Masse.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten) der Raumzeit. Sie sind in Übereinstimmung mit allen Beobachtungen vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschaften, Größe oder Masse, des frei fallenden Teilchens ab (Äquivalenzprinzip). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, das heißt, Energiedichte, Impulsdichten, Energieströme und Impulsströme. Da die Energie ruhender Teilchen durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt die Masse ruhender Teilchen Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt wie nach Newton zu erwarten.

An ihrer gravitativen Auswirkung kann man in großen Abständen von den gravitationserzeugenden Energie- und Impulsdichten die ADM-Masse ablesen. Sie verändert sich nicht im Laufe der Zeit, da Strahlung nicht in endlicher Zeit unendliche räumliche Entfernungen durchläuft. Die Bondi-Masse wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie für große Zeiten und dabei mit Lichtgeschwindigkeit zunehmenden Abständen abgelesen. Sie vermindert sich durch Abstrahlung und ist nicht negativ, das heißt, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Energie, die abgestrahlt werden kann, nach unten beschränkt.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Boson, einem bisher noch unbeobachteten skalaren Elementarteilchen, erhalten sie eine Masse, wenn das Higgsfeld auch im Vakuum nicht verschwindet.^[1]

Die Massen der Baryonen, wozu auch Proton und Neutron gehören, sind viel größer als die Massen der Quarks, aus denen sie bestehen und werden dynamisch erklärt (das heißt aus der Wechselwirkung der Quarks). Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Es wird vermutet, dass 'WIMPs' (weakly interactive massive particles) wie etwa das hypothetische LSP (lightest supersymmetric particle) die nicht sichtbare Dunkle Materie aufbauen könnten.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Im alltäglichen Sprachgebrauch wird häufig nicht zwischen Masse und Gewicht unterschieden, etwa bei Übergewicht, Leergewicht oder Abtropfgewicht. Da zudem die Masse-Einheit Kilogramm den meisten Menschen geläufiger ist als die Gewichtseinheit Newton, werden Kräfte häufig in Kilogramm angegeben, wobei die zugehörige Gewichtskraft auf der Erde gemeint ist.

Beim Gleichsetzen von Masse und Gewicht kann der falsche Eindruck entstehen, die Masse hinge vom Ort ab. So ist die folgende Aussage missverständlich: „Auf dem Mond wiegt ein 90 kg schwerer Mensch nur 15 kg.“ Klarer ist: „Auf dem Mond wiegt ein Mensch mit 90 kg soviel wie ein Körper von 15 kg auf der Erde.“

Der Begriff Gewicht sollte laut DIN 1305 vermieden werden, wenn Missverständnisse zu befürchten sind.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ In supersymmetrischen Theorien könnte ein ähnlicher Mechanismus auch durch andere Teilchen (Goldstinos) vermittelt werden (siehe Goldstonetheorem, Gravitino und: DELPHI Collaboration: P. Abreu et al.: Search for the sgoldstino at √s from 189 to 202. In: CERN-EP/2000-110. 16.08.2000, S. 12 ([1]). )

Siehe auch

• Äquivalenz von Masse und Energie
• Liste mit Größenordnungen von Massen
• Äquivalenzprinzip (Physik)

Literatur

• Max Jammer Das Konzept der Masse in der Physik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964
• Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2, Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971, S. 36–43. 

Weblinks

• Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
• Versuche und Aufgaben zur Masse