Maximalgrad

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Nachbarschaft und Grad sind grundlegende Begriffe der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie beschreiben Eigenschaften von Knoten.

Definitionen

Nachbarschaft

Ungerichtete Graphen

Zwei Knoten u und v heißen in einem ungerichteten Graphen G benachbart, verbunden oder adjazent, wenn sie durch eine ungerichtete Kante verbunden sind.
Ein Knoten v und eine ungerichtete Kante e heißen inzident, wenn e den Knoten v mit einem anderen Knoten verbindet (v ist Element von e). Zwei ungerichtete Kanten heißen benachbart, wenn sie nicht disjunkt sind, d.h. wenn sie einen gemeinsamen Knoten besitzen.

Ein Knoten x heißt Nachbar eines Knotens y in einem ungerichteten Graphen G, wenn x und y zu einer Kante von G gehören. Mit N_G(v) bezeichnet man die Menge aller Nachbarn eines Knotens v in G. Ferner bezeichnet man mit N_G(X) die Menge aller Nachbarn der Knoten von X in G. N_G(v) bzw. N_G(X) nennt man auch Nachbarschaft von v bzw. X.

Ein Knoten ist sein eigener Nachbar, wenn er eine Schlinge besitzt. Die Nachbarschaft einer Menge von Knoten N_G(X) kann Knoten aus der Menge X selbst enthalten. Die Vereinigung der Nachbarschaft mit den Knoten aus X heißt abgeschlossene Nachbarschaft.

Diese Begriffe gelten analog für Hypergraphen und -kanten.

Gerichtete Graphen

Ein Knoten x heißt Vorgänger von y in einem gerichteten Graphen G, wenn (x, y) gerichtete Kante von G ist. Mit N_G^-(v) bezeichnet man die Menge aller Vorgänger eines Knotens v in G. Ferner bezeichnet man mit N_G^-(X) die Menge aller Vorgänger der Knoten von X in G. N_G^-(v) bzw. N_G^-(X) nennt man auch Vorgängermenge oder Eingangsmenge von v bzw. X.

Analog heißt x Nachfolger von y in G, wenn (y, x) gerichtete Kante von G ist. Mit N_G⁺(v) bezeichnet man die Menge aller Nachfolger eines Knotens v in G. Ferner bezeichnet man mit N_G⁺(X) die Menge aller Nachfolger der Knoten von X in G. N_G⁺(v) bzw. N_G⁺(X) nennt man auch Nachfolgermenge oder Ausgangsmenge von v bzw. X.

Grad

Der Grad (oder Valenz) d_G(v) in einem Graphen ist der Anzahl Kanten, die den Knoten v mit einem anderen Knoten verbinden. Oft wird auch die Notation deg_G(v) (engl. degree) verwendet

Falls klar ist, um welchen Graphen es sich handelt, lässt man den Index G bei N, N^-, N⁺, d, d^- und d⁺ auch oft weg.

Ungerichtete Graphen

Ein ungerichteter Graph. Die Knoten sind mit ihrem Grad beschriftet.

In einem ungerichteten Graph ist d_G(v) in

• Graphen ohne Mehrfachkanten und Hypergraphen die Anzahl der Nachbarn von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller mit v inzidenten Kanten.

Den kleinsten Grad eines Knotens in G bezeichnet man dann als Minimalgrad von G, den größten Grad eines Knotens in G bezeichnet man als Maximalgrad von G. Das arithmetische Mittel aller Eckengrade von G wird als Durchschnittsgrad d_G(G) bezeichnet.

Gerichtete Graphen

Ein gerichteter Graph mit beschrifteten Knoten: (Eingangsgrad, Ausgangsgrad)

In gerichteten Graphen wird unterschieden, ob eine Kante an einem Knoten beginnt oder endet. Mit d_G^-(v) bezeichnet man den Eingangsgrad des Knotens v in einem gerichteten Graphen G und mit d_G⁺(v) dessen Ausgangsgrad.

Dabei ist d_G^-(v) in

• Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Vorgänger von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in G der Form (v, x).

und d_G⁺(v) in

• Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Nachfolger von v,
• Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in G der Form (x, v).

Einen Knoten ohne Eingangskanten (d_G^-(v) = 0) nennt man Quelle, einen Knoten ohne Ausgangskanten (d_G⁺(v) = 0) nennt man Senke.

Spezialfälle und -begriffe

• Man nennt einen Knoten isoliert, wenn er:
  • in einem ungerichteten Graphen: keine Nachbarn besitzt d_G = 0.
  • in einem gerichteten Graphen: keine Vorgänger und keine Nachfolger besitzt. $d_G^+ = d_G^- =0$.

• Ein ungerichteter Graph (bzw. Hypergraph) G heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Grad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Grad k, so bezeichnet man G als k-regulär. Einen 3-regulären Graphen bezeichnet man auch als kubisch.

• Ein gerichteter Graph G heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Eingangs- und Ausgangsgrad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Eingangs- und Ausgangsgrad k, so bezeichnet man G als k-regulär.

• Ein Hypergraph G heißt uniform, wenn alle Kanten von G die gleiche Anzahl Knoten enthalten. Enthalten alle Kanten von G genau k Knoten, so nennt man G k-uniform.