Maximalideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein Ideal $\mathfrak{m} \subseteq R$ maximal, wenn $\mathfrak{m}$ ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion $\subseteq$ (teilweise) geordneten Menge aller echten Ideale. D.h. $\mathfrak{m} \neq R$ und für jedes Ideal $\mathfrak{a} \subseteq R$ gilt:

Aus $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{a} \neq R$ folgt $\mathfrak{a} = \mathfrak{m}.$

In anderen Worten:

Ein Ideal $\mathfrak{m} \subsetneq R$ ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von R ist.

Bemerkungen

• Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
• Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
• Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
• Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein (noetherscher) Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet.
• Sei $\mathfrak{m}$ ein Ideal des kommutativen Ringes R mit 1. Der Faktorring $L = R/\mathfrak{m}$ ist genau dann ein Körper, wenn $\mathfrak{m}$ maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
• Ein maximales (zweiseitiges) Ideal $\mathfrak{m}\subseteq R$ eines Ringes R ist genau dann prim, wenn $RR \nsubseteq \mathfrak{m}$. Insbesondere ist $\mathfrak{m}$ prim, falls R ein Einselement enthält.

Beispiele

• Im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional. In einem Hauptidealring gilt dieser Satz ebenfalls.
• Sei $C(\mathbb R)$ der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus

$\mathrm{ev}_0\colon C(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R},\quad f \mapsto f(0).$

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev₀ ist $\mathbb{R}$, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0) = 0, ein maximales Ideal.