Meißner-Körper

Animation des Reuleaux-Tetraeders, mit erzeugendem regelmäßigen Tetraeder.

Vier sich schneidende Kugeln, die das Reuleaux-Tetraeder erzeugen.

Das Reuleaux-Tetraeder ist die Schnittmenge von vier Kugeln mit Radius s, deren vier Mittelpunkte an den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge s liegen. Die vier Ecken des erzeugenden Tetraeders bilden auch die vier Ecken des Reuleaux-Tetraeders. Das Reuleaux-Tetraeder hat dieselbe Struktur wie sein erzeugendes Tetraeder: vier Ecken, vier Flächen und sechs Kanten. Die Flächen bestehen jedoch aus Kugelsegmenten und die Kanten aus Kreissegmenten.

Das Reuleaux-Tetraeder ist definiert und benannt nach seinem 2-dimensionalen Analogon dem Reuleaux-Dreieck. Im Gegensatz zu diesem ist der Reuleaux-Tetraeder, aber kein Körper konstanter Breite, denn die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten haben eine größere Entfernung

$(\sqrt3 - \sqrt2/2)s\approx 1.0249s.$

Das Volumen des Reuleaux-Tetraeder beträgt

$\frac{s^3}{12}(3\sqrt2 - 49\pi + 162\tan^{-1}\sqrt2)\approx 0.422s^3$

(Weisstein).

Meißner-Körper

Meißner and Schiller (1912) zeigten jedoch, wie das Reuleaux-Tetraeder abgeändert werden kann, um einen Körper konstanter Breite zu bilden. Dazu müssen drei der (aus Kreissegmenten bestehenden) Kanten ersetzt werden durch Flächen, die Teil eines Rotationskörpers sind. Diese Rotationskörper haben als Achse die Kante des zugehörigen erzeugenden Tetraeders und als erzeugende Kurve ein Kreissegment, das entsteht, wenn man das Reuleaux-Tetraeder mit den fortgesetzten Seiten des erzeugenden Tetraeders schneidet. Je nachdem welche drei Kanten ersetzt werden (drei mit gemeinsamer Ecke oder drei die ein Dreieck bilden), entstehen zwei echt verschiedene Körper, die auch Meißner-Körper genannt werden (für Abb. und Filme siehe Weber). Bonnesen and Fenchel (1934) vermuteten, dass die Meißner-Körper die Körper mit konstanter Breite mit minimalem Volumen sind, der Beweis ist jedoch immer noch offen. Campi et al. (1996) konnten zeigen, dass der Rotationskörper mit konstanter Breite mit minimalem Volumen ein Reuleaux-Dreieck ist, das um eine seiner Symmetrieachsen rotiert.

Literatur

• Bonnesen, Tommy and Fenchel, Werner: Theorie der konvexen Körper, S. 127–139, Springer-Verlag 1934

• Stefano Campi, Andrea Colesanti, Paolo Gronchi: Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci. In: Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. 177, CRC Press, 1996, Minimum problems for volumes of convex bodies, S. 43–55. 

• Meißner, Ernst and Schilling, Friedrich: Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite. In: Z. Math. Phys.. 60, 1912, S. 92–94

Weblinks

• Lachand-Robert, T. & Oudet, É.. Spheroforms.

• Weber, Christof. Was hat dieser Körper mit Kugeln zu tun?.

Hier gibt es auch Filme der beiden rotierenden Meissner-Körper.

• Eric W. Weisstein: Reuleaux Tetrahedron auf MathWorld (englisch)