Gleichdick

Gleichdick (Reuleaux-Dreieck) als Bohrer

Ein Gleichdick ist eine Kurve konstanter Breite, deren geschlossene Linie in jeder Lage innerhalb eines geeigneten Quadrates stets alle vier Seiten berührt.

Oder ausführlicher formuliert: Die Breite einer Kurve ist definiert als der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden, die die Kurve auf gegenüberliegenden Seiten berühren. Diese Geraden nennt man Stützgeraden. Kurven konstanter Breite sind diejenigen Kurven, bei denen sich für den Abstand dieser Geraden immer derselbe Wert ergibt, unabhängig davon, an welcher Stelle der Figur die Geraden angreifen.

Das einfachste nicht triviale aller Gleichdicke ist das Reuleaux-Dreieck. Es ist auch das Gleichdick mit der kleinsten Fläche, wohingegen der Kreis jenes mit der größten ist, dazwischen gibt es unendlich viele andere. Man kann also Material sparen: Ein Kreis mit gleichem Durchmesser hat eine größere Fläche, eine zylindrische Walze mehr Volumen.

Bekannte Beispiele eines Gleichdicks sind die britischen 20- und 50-Pence-Münzen. Ihre siebeneckige Form mit gebogenen Seiten führt dazu, dass Material gespart wird, Automaten bei der Bestimmung des Durchmessers jedoch immer den korrekten Wert ermitteln.

Nach dem Satz von Barbier gilt für den Umfang eines jeden Gleichdicks der Breite b:

$u = b \cdot \pi$

D.h. auch der Umfang von Gleichdick und Kreis gleichen Durchmessers ist der gleiche.

Ein Gleichdick muss aber nicht aus Kreisbögen gestaltet werden oder irgendwie symmetrisch sein. Es gibt eine unbegrenzte Anzahl von Gleichdicken. Ihnen gemeinsam ist die konvexe Form.

Ein Bohrer mit dem Querschnitt eines Reuleaux-Dreiecks kann zum Bohren von „eckigen“ Löchern genutzt werden. Erfunden hat diesen Bohrer, der beinahe viereckige Löcher erzeugt, der britische Ingenieur Harry James Watt 1914 (US-Patent 1241175 und folgende).

Die dreidimensionale Verallgemeinerung

Ein räumliches Gleichdick ist ein konvexer Körper konstanter Breite: ein Körper ohne Einbuchtungen, der in jeder Lage innerhalb eines geeigneten Würfels stets alle sechs Seitenflächen berührt: In welcher Orientierung ein solcher Körper auch zwischen zwei parallele Platten eingespannt wird, immer sind die beiden Platten exakt gleich weit voneinander entfernt.

Ein einfaches nichttriviales räumliches Gleichdick ist der Rotationskörper, der durch Drehung eines Reuleaux-Dreiecks um eine seiner Symmetrieachsen entsteht. Aber auch alle anderen um eine Symmetrieachse rotierten Reuleaux-Polygone sind Körper konstanter Breite. Damit gibt es unendlich viele verschiedene räumliche Gleichdicke derselben konstanten Breite.

Entgegen der intuitiven Annahme, das Reuleaux-Tetraeder sei ebenfalls von konstanter Breite, handelt es sich bei diesem Körper um kein Gleichdick. Jedoch lassen sich auf dessen Grundlage räumliche Gleichdicke konstruieren, die keine Rotationskörper sind, die beiden Meißner-Körper.

Gleichdicke in der Produktion

Gerade beim Walzen von zylindrischen oder zylinderähnlichen Formen wie Schrauben oder Steckern ist es durch Toleranzen eher die Regel als die Ausnahme, dass statt Zylindern Gleichdicke entstehen. Durch Messen zwischen zwei parallelen Flächen ist auf Grund der obigen Definition kein Unterschied festzustellen. Allerdings kommt es zu Problemen, wenn Formschluss benötigt wird. Erkannt werden kann ein Reuleaux-Dreieck, wenn statt eines Meßschiebers ein auf der Spitze stehendes gleichseitiges Dreieck benutzt wird, dessen obere Seite beweglich ist und das Gleichdick dann gedreht wird.

Weblinks

• Animationen und Erklärungen zum ebenen Gleichdick
• Weitere Ausführungen zur dreidimensionalen Verallgemeinerung, insbesondere Filme der beiden Meißner'schen Körper