Minimax-Prinzip

Die Minimax-Regel ist eine Entscheidungsregel, um für den schlechtesten aller möglichen Fälle noch das beste aller möglichen Ergebnisse zu erzielen. (Das MINImum wird MAXimiert.)

Struktur des Minimax-Prinzips

Man kann sich die Struktur des Minimax-Prinzips folgendermaßen veranschaulichen.

Angenommen man hat 3 Zahlenmengen:

• Zahlenmenge 1: (5, 29, 44, 200)
• Zahlenmenge 2: (11, 17, 34, 39)
• Zahlenmenge 3: (4, 310, 1105, 3451).

Wenn man dem Minimax-Prinzip folgt ("Wähle diejenige Zahlenmenge, bei der die kleinste Zahl größer ist als die kleinste Zahl irgendeiner anderen Zahlenmenge"), so ist die Zahlenmenge 2 gewählt, denn bei ihr ist die kleinste Zahl die "11" und die "11" ist größer als die jeweils kleinste Zahl der beiden übrigen Zahlenmengen (die "5" und die "4").

Entscheidungen unter Risiko

Bei dem folgenden Beispiel wird die Minimax-Regel auf Entscheidungen unter Risiko angewendet.

A sagt zu B:

• Du darfst 10 mal würfeln.
• Wenn Du dabei dreimal die "6" würfelst, bekommst Du 10 €.
• Wenn Du zweimal die "6" würfelst, bekommst Du gar nichts.
• Wenn Du einmal die "6" würfelst, bekommst Du 1 €.
• Wenn Du gar keine "6" würfelst, bekommst Du ebenfalls gar nichts.

Bei Anwendung der Minimax-Regel würde B würfeln, bis er eine "6" gewürfelt hat, denn solange er noch keine "6" gewürfelt hat, kann sich das Resultat auch im schlimmsten Fall (wenn er keine "6" würfelt) nicht verschlechtern, aber es kann sich verbessern (wenn B eine "6" würfelt). Dann bekommt B statt 0 € wenigstens 1 €.

Hat er jedoch die erste "6" gewürfelt, dann hört B auf zu würfeln denn es könnte passieren, dass er zwar noch die zweite "6" würfeln, aber nicht mehr die dritte. Bei Eintreten dieses für B schlechtesten aller möglichen Fälle würde er aber gar nichts bekommen, während er so wenigstens 1 € erhält.

Wie man sieht, vermeidet man mit der Minimax-Regel jegliches Risiko. In diesem Sinne wird die Regel in der Spieltheorie benutzt. Die Minimax-Regel wendet man in Nullsummen-Spielen an, wo der eine gewinnt, was der andere verliert und umgekehrt.

Kollektive Entscheidungen

Man kann die Minimax-Regel auch auf kollektive Entscheidungen anwenden. Dies hat z. B. J. Rawls in seiner Theorie der Gerechtigkeit getan. Dann lautet die Minimax-Regel:

"Kollektiv gewählt ist diejenige Alternative, bei welcher das am schlechtesten gestellte Individuum immer noch besser gestellt ist als irgendeines derjenigen Individuen, die bei Eintreten der anderen Alternativen jeweils am schlechtesten gestellt sind."

Angenommen eine Gruppe, bestehend aus den Individuen A, B und C steht vor der Entscheidung zwischen den Alternativen x, y und z, wobei die Zahlen in der Tabelle die Mengen irgendeines Gutes bezeichnen – z. B. Urlaubstage. Jedes Individuum hat dabei lieber mehr als weniger von dem Gut:

	A	B	C
x	3	3	3
y	2	8	10
z	4	5	6

Bei Anwendung der Minimax-Regel auf die Werte in der vorstehenden Tabelle wird die Alternative z kollektiv gewählt, denn in diesem Fall ist das am schlechtesten gestellte Individuum A mit 4 Urlaubstagen immer noch besser gestellt als die jeweils am schlechtesten Gestellten im Falle der beiden anderen Alternativen (bei x sind es 3 und bei y 2 Urlaubstage).

Ordinales Messniveau

Die Minimax-Regel arbeitet mit Bewertungen der Alternativen in Form von Rangordnungen, benötigt also nur ein ordinales Messniveau der individuellen Werte. Die Minimax-Regel erfordert allerdings einen interpersonalen Vergleich der individuellen Wohlfahrtsniveaus (z. B.: 'A ist besser gestellt als B'). In unserm Fall sei angenommen, dass Urlaubstage für alle Individuen den gleichen Wert besitzen.

Abhängigkeit von der Art der Bündelung der Entscheidungen

Ein Problem der Minimax-Regel ist ihre Abhängigkeit von der Art der Bündelung der Entscheidungen. Dies Problem teilt die Minimax-Regel mit anderen Entscheidungsregeln, die nur mit Präferenzen und Bewertungen in Form von Rangordnungen arbeiten, wie z. B. das Mehrheitsprinzip.

Angenommen die 3 Individuen A, B und C haben 3 getrennte Entscheidungen zwischen jeweils 2 Alternativen zu treffen, s oder t, v oder w sowie x oder y.

Den Alternativen entsprechen bestimmte fiktive Stückzahlen eines beliebigen Gutes (z. B. Urlaubstage), die die Individuen bei kollektiver Wahl der jeweiligen Alternative hinzubekommen oder abgeben müssen. Dabei wird angenommen, dass jedes Individuum den Besitz einer größeren Menge dieses Gutes einer kleineren Menge vorzieht.

3 Individuen treffen 3 gemeinsame Entscheidungen zwischen jeweils 2 Alternativen

	A	B	C
s	1	2	2
t	0	5	5
v	2	1	2
w	5	0	5
x	2	2	1
y	5	5	0

Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, würden bei getrennten Entscheidungen nach der Minimax-Regel die Alternativen s, v und x kollektiv gewählt.

Die folgende Tabelle zeigt jedoch, dass das Alternativenbündel t+w+y dem Alternativenbündel s+v+x von allen Beteiligten vorgezogen wird.

3 Individuen treffen eine Entscheidung zwischen 2 Alternativenbündeln

	A	B	C
s+v+x	5	5	5
t+w+y	10	10	10

Derart suboptimale Ergebnisse stellen sich bei Anwendung der Minimax-Regel auf Serien voneinander unabhängiger Entscheidungen meist dann ein, wenn sich die Individuen bei den für sie weniger wichtigen Einzelentscheidungen in der Ausschlag gebenden Minimax-Position befinden und bei den für sie wichtigen Entscheidungen unberücksichtigt bleiben.

Auch nach der Minimax-Regel würde bei einer Entscheidung zwischen den beiden Alternativenbündeln y+s+w gewählt und nicht wie bei den Einzelentscheidungen x, r und v.

Siehe auch

• Minimax-Algorithmus zur Anwendung in der Spieltheorie

Literatur

• G. Gäfgen: Die wirtschaftliche Entscheidung. Tübingen 1963