Monoid-Homomorphismus

Ein Homomorphismus (aus dem Griechischen, "homós": gleich; "morphé": Form), ist eine strukturerhaltende Abbildung.

Allgemeine mathematische Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.

Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Seien A und B zwei Strukturen, z. B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper usw.

Im folgenden bezeichne (A, * ₁, * ₂,...,e₁,e₂,...) eine Struktur mit einer Trägermenge A sowie Verknüpfungen * _i auf A mit jeweiligen neutralen Elementen e_i.

Beispiele sind die Gruppe $(\mathbb Z, +, 0)$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element 0 oder der Körper $(\mathbb R, +, \cdot, 0, 1)$ der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $f\colon A\to B$ heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen $\left(A, \oplus, 1_{\oplus} \right)$ und $\left(B, \otimes, 1_{\otimes}\right)$, wenn für alle $a, b \in A$ gilt:

$f(a \oplus b) = f(a) \otimes f(b)$.

Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus f  leicht zeigen, dass

$f\left(1_{\oplus}\right)=1_{\otimes}$,

denn es gilt

$f(a)=f(a \oplus 1_\oplus)=f(a) \otimes f(1_\oplus)$. Also ist $f(1_\oplus)$ das neutrale Element in B.

Für alle $a \in A$ ist $f\left(a^{-1}\right)$ das Inverse zu f(a), d.h.

$f\left(a^{-1}\right)=f\left(a\right)^{-1}$,

denn es gilt

$f\left(a^{-1}\right)=f\left(a^{-1}\right)\otimes f\left(a\right)\otimes f(a)^{-1} = f\left(a^{-1} \oplus a\right)\otimes f(a)^{-1} = f\left(1_\oplus\right)\otimes f(a)^{-1} = f(a)^{-1}$.

Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Es seien $(R, +, \cdot)$ und $(S, \oplus, \otimes)$ Ringe mit Einselement und $f\colon R\to S$ eine Abbildung. f heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

• $f(a+b) = f(a)\oplus f(b)$ für alle $a,b\in R$ (d.h. f ist ein Gruppenhomomorphismus von $\left( R, +\right)$ nach $(S, \oplus)$),
• $f(a\cdot b) = f(a)\otimes f(b)$ für alle $a,b\in R$ und
• $f\left( 1_R \right) = 1_S$.

Wenn x invertierbar ist, dann ist $f\left(x^{-1}\right)=f\left(x\right)^{-1}$.

Ist $f:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von f

$\ker f := \left\{ x\in R : f(x)=0_S \right\}$

ein Ideal in R.

f ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.

Wenn R ein Körper ist, dann sind {0} und R die einzigen Ideale in R, und damit ist ein Homomorphismus $R\to S$ immer injektiv, sofern $S\not=0$.

Körperhomomorphismus

Ein Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern wird auch Körperhomomorphismus genannt.

K-Homomorphismus

Sind L / K und L' / K zwei Körpererweiterungen und ist der Körperhomomorphismus $\sigma\colon L \rightarrow L'$ eine Fortsetzung der Identität auf K, so nennt man σ einen K-Homomorphismus.

Homomorphismus zwischen Vektorräumen

Homomorphismen von K-Vektorräumen, also Räumen die für die Multiplikation einen Körper K "heranziehen" müssen, sind besser bekannt als lineare Abbildungen. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra.

Weitere Begriffe

universelle Algebra

Ein Homomorphismus f heißt:

• Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
• Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
• Isomorphismus, wenn f bijektiv.
• Endomorphismus auf A, wenn $f \colon A \to A$ (f bildet A in sich selbst ab).
• Automorphismus auf A, wenn $f \colon A \to A$ (Endomorphismus) und f bijektiv (Isomorphismus) ist.

Kategorientheorie

Ein Homomorphismus f heißt:

• Retraktion, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass $f \circ g = \mbox{id}$ ist.
• Schnitt, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass $g \circ f = \mbox{id}$ ist.
• Epimorphismus, wenn f rechtskürzbar ist.
• Monomorphismus, wenn f linkskürzbar ist.
• Bimorphismus, wenn f ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
• Isomorphismus, wenn f Retraktion und Schnitt ist.
• Endomorphismus auf A, wenn f von A nach A abbildet.
• Automorphismus auf A, wenn $f \colon A \to A$ ein Isomorphismus ist.

Weblinks