- Gruppenring
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Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Exponenten (Hochzahlen) der Polynome sozusagen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im folgenden exakt definiert wird.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und G ein Monoid, dann ist
für alle bis auf endlich viele x}
mit der Addition
- (α + β)(x): = α(x) + β(x)
und der Faltung
-
(αβ)(z): = ∑ α(x)β(y) xy = z
als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt
oder einfach ax für die Abbildung
, die an der Stelle x den Wert a und ansonsten 0 annimmt. Beispielsweise gilt dann
R[G] besitzt ein Einselement, nämlich
, wobei 1 das Einselement von R und e das Neutralelement von G ist.
Ist G eine Gruppe, so heißt R[G] Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise RG ist üblich.
R[G] wird zur R-Algebra via
r ∑ rigi: = ∑ rrigi i i Eigenschaften
- R[G] ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn G als Monoid kommutativ ist.
- Jedes Element
lässt sich eindeutig schreiben als
mit ax: = α(x)
- R und G sind auf natürliche Weise in R[G] eingebettet, nämlich durch die injektiven Ringhomomorphismen
und
, wobei
wie oben definiert ist.
- Falls G ein Monoid ist und A,B kommutative Ringe,
ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus
. sodass
universelle Eigenschaft
Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch - bis auf Isomorphie - über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien G und R wie oben definiert. Es bezeichne
die Kategorie der Monoide und
die Kategorie der (assoziativen) R-Algebren. Sei
der Vergissfunktor, d.h. der Funktor, der jeder R-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.
Dann ist die kanonische Einbettung
universell, d.h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus
in das multiplikative Monoid einer R-Algebra A haben, dann existiert genau ein R-Algebra-Homomorphismus
, so dass
.
In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht
wie folgt aus:
.
Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über R zuordnet mit F bezeichnen, ist also F linksadjungiert zu U. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.
Beispiele
- R[N0] ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über R.
- Ist allgemeiner G ein freies kommutatives Monoid in n Erzeugern, so ist R[G] isomorph zum Polynomring in n Unbestimmten über R.
Verallgemeinerungen
- Es sei G eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist G nicht diskret, so enthält der Gruppenring
keine Information über die topologische Struktur von G. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: es sei μ ein linksinvariantes Haarmaß auf G. Dann bildet der Raum L1(G,μ) mit der Faltung
-
- als Produkt eine Banachalgebra.
- Ist A ein Ring und G eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d.h.
-
- aus α < β und γ < δ folgt αγ < βδ,
- so sei
- mit
Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird S(G,A) zu einem Ring. Ist A ein Körper, so ist S(G,A) ein Schiefkörper. Ist beispielsweise
mit der natürlichen Ordnung, so ist S(G,A) der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in A.
Literatur
- Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)
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