Nakayama-Lemma

Nakayama-Lemma

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra:

Es sei M ein endlich erzeugter nichttrivialer R-Modul und \mathfrak{a} ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von R liegt. Dann ist \mathfrak{a}M\neq M.

Beweis

Es sei \{u_1, \ldots, u_n\} ein minimales Erzeugendensystem von M. Wir nehmen \mathfrak{a}M=M an.

Wegen u_n\in\mathfrak{a}M gäbe es dann eine Gleichung der Form u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i mit a_i\in\mathfrak{a}, also (1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i.

Da an im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor 1 − an eine Einheit, das Erzeugendensystem also nicht minimal.

Folgerungen

  • Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, N ein Untermodul und \mathfrak{a}\subset J(R) ein Ideal, so gilt
M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N.

Diese Folgerung kann man zum Heben von Basen verwenden:

Sind dann x_1, \ldots, x_n Urbilder einer Basis des κ-Vektorraums M/\mathfrak{m}M, so erzeugen die xi den Modul M.

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