Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

• Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
• Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der grönwallschen Ungleichung.
• Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.

Im Folgenden sei stets $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$.

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n$ und $F: G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig. Weiter sei $y \in C([a,b); \mathbb{K}^n) \cap C^1((a,b); \mathbb{K}^n)$ eine Lösung von

$\ y' = F(x,y)$

auf (a,b). Dann gibt es ein $x^+ \in [b, \infty)$ und eine Lösung u obiger Differentialgleichung auf (a,x ⁺ ) mit den Eigenschaften:

• y(x) = u(x) auf [a,b).
• Es gibt kein s ⁺ > x ⁺ , so dass u zu einer Lösung auf (a,s ⁺ ) fortgesetzt werden kann.

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems y' = F(x,y),y(a) = y₀ (für stetiges F).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei $D \subset \mathbb{K}^n$ und $F:[a,b) \times D \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig; dabei sei explizit $b = \infty$ zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

$y' = F(x,y)\ .$

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung $y: [a,x^+) \rightarrow D$

• $\ x^+ = b$ (Globalität) oder
• $\lim_{x\nearrow x^+}\min\left\{{\rm dist}(y(x), \partial D), \frac{1}{\|y(x)\|}\right\} = 0\ .$

Hierin sei ${\rm dist}(z, \emptyset) := \infty$ vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n$, $F: G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und $y: (x^-, x^+) \rightarrow \mathbb{K}^n$ eine nicht-fortsetzbare Lösung von $\ y' = F(x,y)$. Dann gilt

• $x^+ = \infty$ (Globalität) oder
• $\lim_{x\nearrow x^+}\|y(x)\| = \infty$ oder
• es gibt eine Folge $x_j \nearrow x^+$, so dass der Grenzwert $\lim_{j\rightarrow\infty}y(x_j) =: y^\star$ existiert mit $(x^+, y^\star) \in \partial G$.

Weblinks

• Beweis des Existenzsatzes im Beweisarchiv.

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.