Formale Potenzreihe

Formale Potenzreihen in der Mathematik sind ein Analogon zu den Potenzreihen der Analysis, ignorieren jedoch im Gegensatz zu diesen sämtliche Konvergenzfragen.

Definition

Für einen kommutativen Halbring A mit Einselement bezeichne A[[X]] den Ring der Folgen

(a₀, a₁, ...)

mit der komponentenweisen Addition und der Faltung als Multiplikation,

$(a_0,a_1,\dots)\,(b_0,b_1,\dots)=(c_0,c_1,\dots)\ ,\quad c_k=\sum_{i=0}^k\,a_i\,b_{k-i}\,.$

Die Elemente von A[[X]] heißen formale Potenzreihen und werden als

a₀ + a₁X + a₂X² + ...

geschrieben.

Eigenschaften

• Die Einheiten von A[[X]] sind genau diejenigen Potenzreihen, deren Absolutglied a₀ eine Einheit in A ist.
• Ist A noetherscher Ring oder ein Integritätsring, so gilt das jeweils auch für A[[X]].
• Ist k ein Körper, so ist k[[X]] ein vollständiger diskreter Bewertungsring. Er ist die Vervollständigung des Polynomrings k[X] bezüglich des Ideals (X). Sein Restklassenkörper ist k, sein Quotientenkörper der Körper der formalen Laurentreihen k((X)).
• Umgekehrt ist nach den Struktursätzen von Irving S. Cohen jeder vollständige diskrete Bewertungsring gleicher Charakteristik isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen über seinem Restklassenkörper.

Weiterführende Themen

• Lokaler Körper
• Erzeugende Funktion

Literatur

• L. V. Kuz'min: Formal power series. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.