Nilideal

Nilideal ist ein mathematischer Begriff aus der Ringtheorie.

Definition

Sei R ein Ring mit 1.

Ein Ideal N von R, das nur aus nilpotenten Elementen besteht, heißt Nilideal.

Beispiele und Eigenschaften

• Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal, das nicht nilpotent ist, ist das Ideal $(X_1,X_2,\ldots)$ im Ring $k[X_1,X_2,\ldots]/(X_1,X_2^2,X_3^3,\ldots)$ mit einem Körper k und je einer Unbestimmten X_i für jede natürliche Zahl i.

• Das Primradikal ist ein Nilideal.