- Nilpotentes Element
-
Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik: Ein Element x eines Rings R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass xn = 0. Ein Ideal I von R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass In = 0.
Beispiele
- Diese Definition lässt sich insbesondere auf quadratische Matrizen anwenden. Beispielsweise ist die Matrix
- nilpotent, weil A3 = 0.
- Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.
- Im Restklassenring
sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder Einheit.
- Im Restklassenring
sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.
- Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da 01 = 0 ist.
Eigenschaften
Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.
Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.
Sei im folgenden R ein Ring, a ein nilpotentes Element von R und n die kleinste natürliche Zahl mit an = 0.
- Ist
, dann ist n > 1 und a ist Nullteiler, denn aan − 1 = 0 und
.
Ist zusätzlich R ein Ring mit 1, dann gilt:
- a ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus ab = 1 für ein Ringelement b folgt der Widerspruch 0 = anb = an − 1 (n war minimal gewählt!).
- 1-a ist invertierbar, denn es gilt
.
- Ist b eine Einheit von R, dann ist auch b + a invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als
sieht.
Sei R ein Restklassenring
und p das Produkt aller Primteiler von m, d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung (PFZ) von m auftreten. Z. B. für
ist
. Dann sind die nilpotenten Elemente von R genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von p sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist k der größte Exponent, der in der PFZ vom m auftritt, dann ist pk ein Vielfaches von m; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom m ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von m besitzen.
Wikimedia Foundation.