No-Cloning-Theorem

No-Cloning-Theorem

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik. Demnach ist es nicht möglich ein System zu bauen, das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern. Die Ursache dafür liegt in der Linearität der Quantenmechanik.

Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die Quanteninformatik. Zum einen können klassische Fehlerkorrekturcodes, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum anderen kann niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören, da er dazu eine Kopie der übertragenen Qubits anlegen müsste. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage der Quantenkryptografie.

Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war eine Arbeit von Nick Herbert, in der er zeigte, wie durch das Kopieren von Qubits eine überlichtschnelle Informationsübertragung möglich wäre. William Wootters und Wojciech Zurek veröffentlichten 1982 das No-Cloning-Theorem und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung erfolgen kann.[1]

Beweis

Zum Beweis des No-Cloning-Theorems wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das beliebige Qubits perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.[2]

Es seien |\phi \rangle und |\psi \rangle zwei beliebige Zustände, die auf einen davon unabhängigen Zustand |k \rangle kopiert werden sollen. Da Skalarprodukte (und Wahrscheinlichkeiten) erhalten werden sollen kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine unitäre Abbildung U beschrieben werden. Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen:

U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle
U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle

Für das Skalarprodukt \langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben:

\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle
\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle

Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen, während sich die zweite Gleichung ergibt, da unitäre Abbildungen das Skalarprodukt nicht verändern. Somit erhält man

\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,

sowie auf Grund der Verträglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt

\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.

Da \langle k | k \rangle = 1 folgt also

\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.

Diese Gleichung hat nur die Lösungen \langle \phi | \psi \rangle = 0 und \langle \phi | \psi \rangle = 1. Das bedeutet, dass entweder ϕ = ψ ist (falls \langle \phi | \psi \rangle = 1) oder ϕ und ψ orthogonal sind (falls \langle \phi | \psi \rangle = 0). Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand ϕ zu kopieren, bestenfalls noch alle zu ϕ orthogonalen Zustände kopieren. Das Kopieren beliebiger Zustände ist jedoch nicht möglich.

Quellen

  1. Dagmar Bruß: Quanteninformation. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40
  2. Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-05921-4, S. 81–84

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • No-cloning theorem — Quantum mechanics Uncertainty principle …   Wikipedia

  • No cloning theorem — The no cloning theorem is a result of quantum mechanics which forbids the creation of identical copies of an arbitrary unknown quantum state. It was stated by Wootters, Zurek, and Dieks in 1982, and has profound implications in quantum computing… …   Wikipedia

  • Quantum no-deleting theorem — Quantum states are fragile in one sense and also robust in another sense. Quantum theory tells us that given a single quantum it is impossible to determine it. One needs infinite number of identically prepared quantum states (copies) to know a… …   Wikipedia

  • No-broadcast theorem — The no broadcast theorem is a result in quantum information theory. In the case of pure quantum states, it is a corollary of the no cloning theorem: since quantum states cannot be copied in general, they cannot be broadcast. For mixed states, it… …   Wikipedia

  • Quantum cloning — is the process that takes an arbitrary, unknown quantum state and makes an exact copy without altering the original state in any way. In Dirac notation, the process of quantum cloning is described by::U |psi angle A |e angle B = |psi angle A |psi …   Wikipedia

  • CBH-Theorem — Das CBH Theorem ist eine informationstheoretische Rekonstruktion der Quantenmechanik, die 2003 von den Philosophen R. Clifton, J. Bub und H. Halvorson ausgearbeitet wurde. Der Name des Theorems geht auf die Initialen seiner Autoren zurück. Gemäß… …   Deutsch Wikipedia

  • No teleportation theorem — In quantum information theory, the no teleportation theorem states that quantum information cannot be measured with complete accuracy.FormulationThe term quantum information refers to information stored in the state of a quantum system. Two… …   Wikipedia

  • No-teleportation theorem — In quantum information theory, the no teleportation theorem states that quantum information cannot be measured with complete accuracy. Formulation The term quantum information refers to information stored in the state of a quantum system. Two… …   Wikipedia

  • No-go theorem — In theoretical physics, a no go theorem is a theorem that states that a particular situation is not physically possible. Examples of no go theorems Bell s theorem Coleman–Mandula theorem Haag Lopuszanski Sohnius theorem Earnshaw s theorem… …   Wikipedia

  • Interleaved — Die Quantenverschränkung (engl. quantum entanglement, selten Quantenkorrelation) ist ein quantenmechanisches Phänomen. Dabei können zwei oder mehr verschränkte Teilchen nicht mehr als einzelne Teilchen mit definierten Zuständen beschrieben werden …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”