Skalarprodukt

Vektoren im Anschauungsraum

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung zwischen Vektoren und ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ im dreidimensionalen Anschauungsraum nach der Formel

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\, |\vec b|\,\cos\sphericalangle(\vec a, \vec b)$.

Dabei bezeichnen $|\vec a|$ und $|\vec b|$ jeweils die Längen der Vektoren. Mit $\cos\alpha = \cos \sphericalangle(\vec a, \vec b)$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels bezeichnet.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt

$\vec a \cdot \vec b = a_1 \, b_1 + a_2 \, b_2 + a_3 \, b_3.$

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt ausrechnen und mit der obigen Formel dann den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

In der Linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines Vektorraums ein Element des dem Vektorraum zugrunde liegenden Skalarkörpers zuordnet. Im Allgemeinen ist in einem reellen oder komplexen Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Im euklidischen Raum

Geometrische Definition und Notation

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleichlang und gleichorientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b$ zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen $a = |\vec a|$ und $b = |\vec b|$ die Längen der Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ und bezeichnet $\alpha = \sphericalangle(\vec a, \vec b)$ den von $\vec a$ und $\vec b$ eingeschlossenen Winkel, so ist

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \, \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b) = a\, b \, \cos \alpha$.

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

$\vec a\cdot \vec b = \vec a\,\vec b$

Statt $\vec a \cdot \vec a$ schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch $\vec a\,^2$.

Andere übliche Notationen sind $\vec a \circ \vec b,\ \vec a \bullet \vec b$ und $\langle \vec a, \vec b \rangle$.

Veranschaulichung

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion $\vec b_{\vec a}$ des Vektors $\vec b$ auf die durch $\vec a$ bestimmte Richtung und setzt

$b_a = \begin{cases} |\vec b_{\vec a}| & \text{falls }\vec a,\vec b_{\vec a} \text{ gleichorientiert}\\ -|\vec b_{\vec a}| & \text{falls }\vec a, \vec b_{\vec a} \text{ entgegengesetzt orientiert} \end{cases}$

Es gilt dann $\ b_a = b \cos \alpha$ und für das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ gilt

$\vec a \cdot \vec b = a b_a.$

Beispiele

In kartesischen Koordinaten

Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, die meist als Spalten geschrieben werden.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

die Darstellung:

$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2.$

Für die Einheitsvektoren $\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ gilt nämlich:

$\vec e_1 \cdot \vec e_1 =1, \vec e_1 \cdot \vec e_2 = \vec e_2 \cdot \vec e_1 =0$ und $\vec e_2 \cdot \vec e_2 =1$.

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes):

$\vec a \cdot \vec b = (a_1 \, \vec e_1 + a_2 \, \vec e_2) \cdot (b_1 \, \vec e_1 + b_2 \, \vec e_2) = a_1b_1 \, \vec e_1 \cdot \vec e_1 + a_1b_2 \, \vec e_1 \cdot \vec e_2 + a_2 b_1 \,\vec e_2 \cdot \vec e_1 + a_2b_2 \, \vec e_2 \cdot \vec e_2 =a_1b_1 + a_2b_2$.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}$   und   $\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix}$

die Darstellung

$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$

Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

wie folgt:

$\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36$

Eigenschaften

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ parallel und gleichorientiert ($\alpha = 0^\circ$), so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = a b$.

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:

  $\vec a \cdot \vec a = a^2$.

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ parallel und entgegengesetzt orientiert ($\alpha = 180^\circ$), so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = - a b$.

• Sind $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal ($\alpha = 90^\circ$) , so gilt

  $\vec a \cdot \vec b = 0$.

Das Skalarprodukt hat die folgenden Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

1. Das Skalarprodukt ist kommutativ (symmetrisch):

   $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$ für alle Vektoren $\vec a$ und $\vec b$

2. Es gilt das Assoziativgesetz für die Multiplikation mit Skalaren (das Skalarprodukt ist homogen in jedem Argument):

   $(r \vec a) \cdot \vec b = r\, (\vec a \cdot \vec b) = \vec a \cdot r \vec b$ für alle Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ und alle Skalare $r \in \R$

3. Es gilt das Distributivgesetz (das Skalarprodukt ist additiv in jedem Argument):

   $\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$ und

   $(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c$ für alle Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$.

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen als: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Da das Skalarprodukt von zwei Vektoren ein Skalar ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht möglich. Insbesondere gilt kein Assoziativgesetz im üblichen Sinn. Im Ausdruck $(\vec a \cdot \vec b) \,\vec c$ ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors $\vec c$. Hingegen stellt der Ausdruck $\vec a \, (\vec b \cdot \vec c)$ ein Vielfaches von $\vec a$ dar. Im Allgemeinen gilt also

$(\vec a \cdot \vec b) \,\vec c \ne \vec a \,(\vec b \cdot \vec c).$

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus den natürlichen, geometriegemäßen Forderungen, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für Vektoren des zweidimensionalen Raumes gilt

$| \vec a | = \sqrt{\vec a\cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}.$

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend

$| \vec a | = \sqrt{\vec a\cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.$

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen. Aus

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \, \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)$

folgt

$\cos \sphericalangle(\vec a,\vec b) = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\,|\vec b|}$

Die Längen der beiden Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$    und   $\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

betragen also

$|\vec a| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \approx 3{,}74,$

$|\vec b| = \sqrt{(-7)^2+8^2+9^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93.$

Der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel berechnet sich zu:

$\cos \sphericalangle(\vec a,\vec b) = \frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}} \approx 0,691.$ Somit ist $\sphericalangle(\vec a,\vec b) \approx 46{,}3^\circ.$

Orthogonalität und orthogonale Projektion

orthogonale Projektion $\vec b_{\vec a}$ des Vektors $\vec b$ auf die durch $\vec a$ bestimmte Richtung

Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

$\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0$

Die orthogonale Projektion von $\vec b$ auf die durch den Vektor $\vec a$ gegebene Richtung ist der Vektor $\vec b_{\vec a} = k \vec a$ mit Komponente

$k = \frac{\vec b \cdot \vec a}{\vec a \cdot \vec a}= \frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2},$

also

$\vec b_\vec a = \frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2} \, \vec a = \left(\vec b \cdot \frac{\vec a}{|\vec a|} \right) \, \frac{\vec a}{|\vec a|}.$

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von $\vec b$ auf die durch $\vec a$ bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor $\vec b - \vec b_{\vec a}$ steht senkrecht auf $\vec a$.

Die Herleitung erfolgt über die zu einander orthogonalen Vektoren $\vec b - \vec b_{\vec a}$ und $\vec a$. Für diese Vektoren gilt $(\vec b - \vec b_{\vec a}) \cdot\vec a=0$.

Mit $\vec b_\vec a=k\vec a$, also $(\vec b - k\vec a) \cdot \vec a=0$ oder $\vec b\cdot \vec a -k\vec a \cdot \vec a=0$ ergibt sich $k=\frac {\vec b \cdot \vec a} {(\vec a \cdot \vec a)}$.

Ist $\vec a$ ein Einheitsvektor (d. h. ist $|\vec a| = 1$), so vereinfacht sich die Formel zu

$\vec b_{\vec a} = (\vec b \cdot \vec a) \,\vec a.$

Anwendungen

In der Geometrie

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

$c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma$

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt $\vec c = - \vec b + \vec a$. (Die Richtung von $\vec c$ ist unerheblich). Quadrieren ergibt

$\vec c\,^2 = \vec a\,^2 + \vec b\,^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b$

und damit

$c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b \,\cos \gamma$

In der Physik

In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit W, durch Skalarprodukte definiert:

$W=\vec F \cdot \vec s = |\vec F| |\vec s| \cos \alpha = F_s \cdot s = F \cdot h$

mit den vektoriellen Größen Kraft $\vec F$ und Weg $\vec s$. Dabei bezeichnet α den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Wegs. Mit F_s wird die Komponente der Kraft in Richtung des Wegs bezeichnet, mit h die Komponente des Wegs in Richtung Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts F wird über die schiefe Ebene von A nach B transportiert. Die Hubarbeit W berechnet sich zu

$\begin{align} W &= \vec F \cdot \vec s = F \cdot h = F \cdot s \cdot \cos \alpha \\ &= 5\,\mathrm N \cdot 3\,\mathrm m \cdot \cos 63^\circ = 6,81 \,\mathrm J \end{align}$

Das Standardskalarprodukt im Rⁿ

Definition

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt im n-dimensionalen Koordinatenraum $\R^n$ wie folgt:

Sind

$\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$    und   $\vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

zwei Vektoren aus $\R^n$, so ist ihr Skalarprodukt

$\vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.$

Häufig wird das Skalarprodukt statt mit einem Malpunkt durch spitze Klammern bezeichnet und man schreibt $\langle \vec x, \vec y\rangle$ statt $\vec x \cdot \vec y$.

Eigenschaften

Das Standardskalarprodukt im $\R^n$ ist

• symmetrisch, d. h. für alle $\vec x, \vec y \in \R^n$ gilt

  $\vec x \cdot \vec y = \vec y \cdot \vec x$

• bilinear, d. h. für alle $\vec x, \vec y, \vec z \in \R^n$ und alle $r \in \R$ gilt

  $(\vec x + \vec y) \cdot \vec z = \vec x \cdot \vec z + \vec y \cdot \vec z$

  $\vec x \cdot (\vec y + \vec z) = \vec x \cdot \vec y + \vec x \cdot \vec z$

  $(r \, \vec x) \cdot \vec y = r \, (\vec x \cdot \vec y) = \vec x \cdot (r \, \vec y)$

• positiv definit, d. h. für alle $\vec x \in \R^n$ mit $\vec x \ne 0$ gilt

  $\vec x \cdot \vec x > 0$

Allgemeine Definition

Man nimmt diese Eigenschaften des Standardskalarprodukts zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet.

• Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum V ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R$, das heißt für $x,y,z\in V$ und $\lambda\in\R$ gelten die folgenden Bedingungen:
  1. bilinear:
     • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
     • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
     • $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
  2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
  3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0,$ und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn x = 0
• Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C$, das heißt für $x,y,z\in V$ und $\lambda\in\mathbb C$ gelten die folgenden Bedingungen:
  1. sesquilinear:
     • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
     • $\langle \lambda x, y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle$    (linear im ersten Argument)
     • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
     • $\langle x, \lambda y\rangle=\bar \lambda\langle x,y\rangle$    (semilinear im zweiten Argument)
  2. hermitesch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
  3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0$, und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn x = 0. (Dass $\langle x,x\rangle$ reell ist, folgt aus Bedingung 2.)

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum; ist er darüber hinaus auch noch vollständig bezüglich der durch das innere Produkt induzierten Norm, wird er als Hilbertraum bezeichnet.

Anmerkungen

• Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
• Im komplexen Fall kann man das Skalarprodukt alternativ als semilinear im ersten und linear im zweiten Argument definieren. Diese Version wird häufig in der Physik bevorzugt. In der Mathematik wird jedoch die obige Variante durchgängig benutzt (siehe Bra- und Ket-Vektoren).

Beispiele

• Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum
• Das im zweiten Abschnitt behandelte Standardskalarprodukt im $\R^n$

Das Standardskalarprodukt im Cⁿ

Im Fall des komplexen Vektorraums $\mathbb C^n$ über dem Körper $\mathbb C$ definiert man das Standardskalarprodukt für alle $x, y\in \mathbb C^n$ durch

$\langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i = \bar x_1{y_1}+\bar x_2 {y_2}+\dotsb + \bar x_n{y_n}$

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet.

Das so definierte Skalarprodukt ist linear im zweiten Argument und semilinear im ersten. In der Mathematik ist häufig auch die folgende alternative Version gebräuchlich:

$\langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^n x_i\bar y_i = {x_1}\overline y_1 +{x_2}\bar y_2+\dotsb + {x_n}\bar y_n,$

Mit dieser Definition ist das Skalarprodukt linear im ersten Argument und semilinear im zweiten.

Weitere Skalarprodukte im Rⁿ und im Cⁿ

Das Standardskalarprodukt im $\R^n$ bzw. $\C^n$ lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als $n \times 1$-Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

$\langle x, y\rangle = x^Ty = y^Tx,$

wobei ^T für die transponierte Matrix steht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

$\langle x, y\rangle = x^{H}y,$

wobei ^H für die hermitesch adjungierte Matrix steht.

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix A über

$\langle x, y\rangle_A = x^T A y = \langle x, Ay \rangle$

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix A über

$\langle x, y\rangle_A = x^H A y = \langle x, Ay \rangle$

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index A auf der linken Seite das durch die Matrix A definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf $\R^n$ bzw. $\C^n$ lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L²-Skalarprodukt

Auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum $C^0([a,b],\R)$ der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [a,b] ist das L²-Skalarprodukt definiert durch

$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm dx$

für alle $f, g \in C^0([a,b],\R)$.

Für Verallgemeinerungen dieses Beispiels siehe Prähilbertraum und Hilbertraum.

Vektorraum von Matrizen

Auf dem Vektorraum $\R^{n \times m}$ der reellen $n\times m$-Matrizen wird durch

$\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}(A^T B) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m a_{ij} \, b_{ij} , \quad A,B \in \R^{n \times m},$

ein Skalarprodukt definiert. Die dazu gehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Entsprechend wird auf dem Vektorraum $\C^{n \times m}$ der komplexen $n\times m$-Matrizen ein Skalarprodukt durch

$\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}(A^H B) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \bar a_{ij}\, b_{ij}, \quad A,B \in \C^{n \times m}$

definiert.

Norm, Winkel und Orthogonalität

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Vektorräumen die euklidische Norm. Man definiert diese, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

$\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}.$

Dies ist möglich, da $\langle x, x\rangle$ wegen der Positivdefinitheit nicht negativ ist.

Die in der Definition einer Norm geforderte Dreiecksungleichung

$\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$

folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

$\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

bzw.

$\left|\langle x,y \rangle\right| \leq \|x\| \, \|y\|.$

Die positive Homogenität folgt aus der Bilinearität bzw. Sesquilinearität des Skalarprodukts.

Im Falle $x,y\neq 0$ kann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu

$\left|\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}\right|\leq 1$

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

$\cos\varphi=\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}$

der Winkel φ zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel hat kein Vorzeichen und liegt immer zwischen 0° und 180° bzw. zwischen 0 und π.

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt null ist, orthogonal:

$x \perp y \Longleftrightarrow \langle x, y \rangle = 0$

Matrixdarstellung

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und $B = (b_1, \dots, b_n)$ eine Basis von V, so kann jedes Skalarprodukt $\langle {\cdot}, {\cdot}\rangle$ auf V durch eine ($n \times n$)-Matrix G, die gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

$G = (g_{ij})_{i, j = 1,\dots, n}$   mit   $g_{ij} = \langle b_i, b_j \rangle$   für $i, j = 1, \dots, n.$

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren $x, y \in V$ bezüglich der Basis B die Darstellung

$x = \sum_{i = 1}^n x_i \, b_i$   und   $y = \sum_{j = 1}^n y_j \, b_j,$

so gilt im reellen Fall

$\langle x,y \rangle = \left\langle \sum\limits_{i = 1}^n x_i \, b_i, \sum\limits_{j = 1}^n y_j \, b_j \right\rangle = \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^n x_i \, y_j\, \langle b_i, b_j \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i\, y_j\, g_{ij}.$

Bezeichnet man mit $x_B, y_B \in \R^n$ die Koordinatenvektoren

$x_B = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}$  und  $y_B = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix},$

so gilt also

$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^T G y_B,$

wobei das Matrixprodukt eine $(1\times 1)$-Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit x_B^T wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor x_B entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n \overline x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} \overline x_1 & \dots & \overline x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^H G y_B,$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und x_B^H der zu x_B adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist B eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt $\langle b_i, b_i \rangle = 1$ für alle i und $\langle b_i, b_j \rangle = 0$ für alle $i \ne j,$ so ist G die Einheitsmatrix, und es gilt

$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i \, y_i = x_B{}^T \, y_B$

im reellen Fall bzw.

$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n \overline x_i \, y_i = x_B{}^H \, y_B$

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von $\,x$ und $y \in V$ also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren $\,x_B$ und $y_B \in \R^n$ bzw. $\C^n$.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3528032170.

Siehe auch

• Kreuzprodukt (äußeres Produkt)
• Quaternion
• Semi-inneres Produkt
• Duale Paarung

Weblinks

• Informationen und Materialien zum Skalarprodukt für die gymnasiale Oberstufe, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Einführung in das Skalarprodukt von Joachim Mohr