Normierter Vektor

In der linearen Algebra ist ein Einheitsvektor oder normierter Vektor ein Vektor mit der Norm (anschaulich: der Länge) Eins. Einheitsvektoren gibt es also nur in einem normierten Vektorraum.

Definition

Ein Element v eines normierten Vektorraumes V heißt Einheitsvektor, wenn $\|v\|=1$ gilt.

Einordnung

Einen gegebenen, vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{v}$ kann man normieren, indem man ihn durch seine Norm (= Betrag) dividiert:

$\vec{n} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$

Dieser Vektor ist der Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie $\vec{v}$ zeigt. Er spielt z. B. eine Rolle beim Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren oder der Berechnung der Hesseschen Normalform.

Die Elemente einer Basis (= Basisvektoren) werden oft als Einheitsvektoren gewählt, denn durch die Verwendung von Einheitsvektoren werden viele Rechnungen vereinfacht. Zum Beispiel ist in einem euklidischen Raum das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden.

Endlichdimensionaler Fall

In den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $\R^n$ besteht die am häufigsten bevorzugte Standardbasis aus den kanonischen Einheitsvektoren

$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; \dots, \; e_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$.

Fasst man die kanonischen Einheitsvektoren zu einer Matrix zusammen, erhält man eine Einheitsmatrix.

Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des $\R^n$ bildet bezüglich dem kanonischen Skalarprodukt eine Orthonormalbasis, d. h. je zwei kanonische Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander (=„ortho“), alle sind normiert (=„normal“) und sie bilden eine Basis.

Beispiel

Die drei kanonischen Einheitsvektoren des dreidimensionalen Vektorraums $\R^3$ werden in den angewandten Naturwissenschaften manchmal mit $\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}$ bezeichnet:

$\mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{k} = e_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Unendlichdimensionaler Fall

In unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen (= VR mit Skalarprodukt) bildet die (unendliche) Menge der kanonischen Einheitsvektoren zwar noch ein Orthonormalsystem, aber nicht notwendig eine (Vektorraum-)Basis. In Hilberträumen gelingt es jedoch durch Zulassung unendlicher Summen, jeden Vektor des Raumes darzustellen, man spricht deshalb weiter von einer Orthonormalbasis.

Siehe auch

• Kartesisches Koordinatensystem