Optimale Steuerung

Die Theorie der optimalen Steuerungen ist eng verwandt mit der Variationsrechnung und der Optimierung. Eine optimale Steuerung u ist eine Funktion, welche eine gegebene Zielfunktion unter einer Differentialgleichungs-Nebenbedingungen und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert.

Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen. Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z. B. Geschwindigkeitsbegrenzungen, eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht, den Benzinverbrauch zu minimieren, d. h., er wählt eine andere Zielfunktion.

Das Problem der optimalen Steuerung

Es gibt mehrere mathematische Formulierungen der Aufgabenstellung, wobei wir hier eine möglichst allgemeine Form angeben.

Seien $\mathcal{C}_a:\R^{n}\rightarrow \R, \mathcal{C}_b:\R^{n}\rightarrow \R, f:[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R^{n}, g:[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R$ und $U\subset\R^{m}$.

Gesucht ist ein Zustand $x:\R \rightarrow \R^{n}$ sowie eine Steuerung $u:\R \rightarrow \R^{m}$, sodass gilt:

$\mathcal{C}_a(x(a))+\mathcal{C}_b(x(b))+\int_{a}^{b} g(t,x(t),u(t))dt \rightarrow \min$

unter den Nebenbedingungen:

1. $\dot{x}(t)=f(t, x(t),u(t)),~x(a)=x_a$
2. $u(t) \in U$ für $t \in [a,b]$

Ein u, das diese Gleichung erfüllt, wird als optimale Steuerung bezeichnet.

Häufig treten zusätzlich noch sogenannte Zustandsbeschränkungen auf, d.h. der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist zusätzlich gewissen Restriktionen unterworfen.

Von Interesse sind in erster Linie die folgenden Fragestellungen:

1. Existieren Lösungen und wie kann man sie berechnen?
2. Welche notwendigen Bedingungen gibt es? Hierbei ist vor allem das Maximumprinzip von Pontrjagin von Bedeutung.
3. Wann sind die notwendigen Bedingungen sogar hinreichend?

Während die Variationsrechnung Konkurrenzfunktionen lediglich auf offenen Mengen zuließ wurden in den Optimalsteuerungen allgemeinere Voraussetzungen (u. a. abgeschlossene Mengen für die Steuerfunktionen u) betrachtet mit einem anderen Formalismus, der zwischen Steuerfunktionen u(t) und Zustandsfunktionen x(t) unterscheidet. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip ist eine Verallgemeinerung der Weierstraß'schen Bedingung der Variationsrechnung. Für das Maximumprinzip waren neue Beweismethoden (u.a. Separation von Kegeln, Nadelvariationen) erforderlich.

Literatur

• B.S. Mordukhovich: Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications. Springer Verlag, Berlin 2006.
• M. Plail: Die Entwicklung der optimalen Steuerungen. Vandenhoeck und Ruprecht Verlag, Göttingen 1998.
• L.S. Pontrjagin: Mathematische Theorie optimaler Prozesse. Oldenbourg Verlag, Wien 1964.