Periodogramm

Das Periodogramm ist ein nicht konsistenter Schätzer für die Spektraldichte eines Signals. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.^[1]

Definition

Sei

$\frac{T}{2}a = \int_{t_1}^{t_1+T}f(t)\cos(kt)dt$

$\frac{T}{2}b = \int_{t_1}^{t_1+T}f(t)\sin(kt)dt$

wobei T ein ganzzahliges Vielfaches von

$T = \frac{2\pi}{k}$

ist. Zeichnet man nun eine Kurve mit 2π/k auf der Abszisse und

$r = \sqrt{a^2+b^2}$

auf der Ordinate, so repräsentiert der Raum zwischen der Kurve und dem Abszissenabschnitt das Periodogramm von f(t).

Anmerkung

Das Periodogramm ist als Schätzer für das Spektrum völlig ungeeignet. Dies liegt daran, dass wenn die beobachtete Zeitreihe beliebig lang wird, die Varianz des Schätzers immer von der gleichen Größenordnung wie der Erwartungswert bleibt und nicht gegen Null konvergiert. Zwar konvergiert der Erwartungswert des Periodogramms gegen das Prozessspektrum, jedoch wird auch die Konvergenz der Varianz gegen Null bei unendlich langen Zeitreihen von einem konsistenten Schätzer erwartet.

Siehe auch

• Fourier-Transformation
• Diskrete Fourier-Transformation

Einzelnachweise

1. ↑ Schuster, Arthur: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898