Pfaff'sche Form

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie bezeichnet Pfaffsche Form oder Differentialform vom Grad 1 oder kurz 1-Form ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem Vektorfeld ist. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für Wegintegrale.

Kontext

Es sei U

• eine offene Teilmenge des $\mathbb R^n$
• oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\mathbb R^n$
• oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

• den Begriff der differenzierbaren Funktion auf U; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf U werde mit $C^\infty(U)$ bezeichnet;
• den Begriff des Tangentialraums T_pU an U in einem Punkt $p\in U$;
• den Begriff der Richtungsableitung Xf für einen Tangentialvektor $X\in\mathrm T_pU$ und eine differenzierbare Funktion f;
• den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf U. Der Raum der Vektorfelder auf U sei mit ΓTU bezeichnet.

Elementare Definition

Eine pfaffsche Form ω auf U ordnet jedem Punkt $p\in U$ eine Linearform $\omega_p\colon\mathrm T_pU\to\mathbb R$ zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes $\mathrm T^*_pU$ des Tangentialraumes T_pU. Der Raum $\mathrm T^*_pU$ wird Kotangentialraum genannt.

Eine pfaffsche Form ω ist also eine Abbildung

$\omega\colon U\to\bigcup_{p\in U}\mathrm T^*_pU,\quad p\mapsto\omega_p\in\mathrm T^*_pU.$

Andere Definitionen

• Eine differenzierbare pfaffsche Form ist eine $C^\infty(U)$-lineare Abbildung $\Gamma\mathrm TU\to C^\infty(U).$ Stetige oder messbare pfaffsche Formen sind analog definiert.
• Die oben gegebene Menge $\bigcup_{p\in U}\mathrm T^*_pU$ wird als Kotangentialbündel bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale Vektorbündel des Tangentialbündels. Eine pfaffsche Form kann damit als Schnitt des Kotangentialbündels definiert werden.

Totales Differential einer Funktion

Das totale Differential oder die äußere Ableitung df einer differenzierbaren Funktion $f\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ ist die pfaffsche Form, die folgendermaßen definiert ist: Ist $X\in\mathrm T_pU$ ein Tangentialvektor, so ist: (df)_p(X) = Xf, also gleich der Richtungsableitung von f in Richtung X.

Ist also $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ ein Weg mit γ(0) = p und $\dot\gamma(0)=X$, so ist

$(\mathrm df)_p(X)=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)).$

Es gilt:

• dλ = 0, falls $\lambda\in\mathbb R$ eine konstante Funktion ist;
• $\mathrm d(fg)=f\cdot\mathrm dg+g\cdot\mathrm df$ für differenzierbare Funktionen $f,g\in C^\infty(U)$.

Ist auf U ein Skalarprodukt gegeben, so lässt sich das totale Differential von f mit Hilfe des Gradienten darstellen:

$(\mathrm df)_p(X)=\langle\mathrm{grad}\,f,X\rangle.$

Koordinatendarstellung

Es sei $x_1,\ldots,x_n$ ein Koordinatensystem auf U. Die Koordinaten können als Funktionen

$x_i\colon U\to\mathbb R,\quad p\mapsto x_i(p)$

aufgefasst werden, die einem Punkt seine i-te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale $\mathrm dx_1,\ldots,\mathrm dx_n$ dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt $p\in U$ ist

$\{(\mathrm dx_1)_p,\ldots,(\mathrm dx_n)_p\}$

eine Basis von $\mathrm T^*_pU$.

Damit lässt sich jede pfaffsche Form auf eindeutige Weise als

$\omega = f_1\,\mathrm dx_1+\ldots +f_n\,\mathrm dx_n$

mit Funktionen $f_i\colon U\to\mathbb R$ schreiben.

Die äußere Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion $f\colon U\to\mathbb R$ hat die Darstellung

$\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot\mathrm dx_n.$

Definition des Kurvenintegrals

Es sei $\varphi\colon[a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in U und ω eine 1-Form auf U. Dann ist das Integral von ω entlang $\varphi$ definiert als:

$\int_\varphi\omega=\int_a^b\omega_{\varphi(t)}(\dot\varphi(t))\,\mathrm dt$

Dabei bezeichnet $\dot\varphi$ die Ableitung von $\varphi$ nach dem Parameter t.

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals

Eine stetig differenzierbare Funktion $\varphi\colon[a,b]\to\R^3$ stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter $t\in[a,b]$ kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt t = a befindet man sich am Ort $\varphi(a)$. Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort $\varphi(b)$ gefahren. Also zum Zeitpunkt t = b ist der Endpunkt $\varphi(b)$ der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt t der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung $\varphi\colon[a,b]\rightarrow\R^3$.

Es ist anschaulich klar, dass dieselbe Kurve auf unterschiedliche Weise überfahren werden kann. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist deshalb gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist. Mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, also erfolgt die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen (+,-) des Integrals.

Im Anschauungsraum $\R^3$ können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor ω entspricht der Vektor $\vec w$, für den

$\omega(\vec x)=\langle\vec w,\vec x\rangle$ für alle $\vec x\in\R^3$

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

$\int_\varphi\omega=\int_{a}^{b} \langle \vec w, \dot\varphi(t)\rangle\,\mathrm dt.$

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors $\vec w$ auf die Tangente an die Kurve:

$\int_\varphi\omega=\int \|\vec w\|\cdot\cos\angle(\vec w,\vec\tau)\,\mathrm ds.$

Exakte und geschlossene Formen

Eine stetig differenzierbare Funktion $F\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ heißt Stammfunktion der 1-Form ω, wenn gilt:

dF = ω.

Eine 1-Form heißt exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form $\omega =\sum_{i=1}^n f_i\,\mathrm dx_i$ heißt geschlossen, wenn gilt:

$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}$ für alle i,j.

Allgemeiner kann ein totales Differential definiert werden, das jeder 1-Form eine 2-Form dω zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn dω = 0 gilt. Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Kurvenintegral des totalen Differentials

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials dF entlang eines Weges $\varphi\colon[a,b]\to U$ gilt:

$\int_\varphi\mathrm dF = F(\varphi(b))-F(\varphi(a)).$

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also $\varphi(a)=\varphi(b)$, ist somit gleich Null:

$\oint_\varphi\mathrm dF=0.$

Im Spezialfall $U\subset\R$ und $\varphi(t)=t$ ergibt sich der Fundamentalsatz der Analysis, da das Integral auf der linken Seite

$\int_\varphi\mathrm dF=\int_a^bF'(t)\,\mathrm dt$

ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

Existenz einer Stammfunktion

• Wie bereits erwähnt, ist Geschlossenheit eine notwendige Bedingung für Exaktheit. Das Poincaré-Lemma besagt, dass die Hindernisse für die Umkehrung globaler Natur sind: In einem einfach zusammenhängenden, insbesondere in jedem sternförmigen Gebiet $U\subset\mathbb{R}^n$ besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion. Insbesondere ist jede geschlossene pfaffsche Form lokal exakt.

• Eine stetige Pfaffsche Form ω auf einem Gebiet $U\subset\mathbb{R}^n$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von ω entlang jeder geschlossenen Kurve $\varphi$ in U verschwindet.

Physikalische Beispiele für Pfaffsche Formen

Erstes Beispiel „Kraftfeld“

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort $\vec r$ ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt $\vec r\in \mathbb{R}^3$ einen Kraftvektor $\vec F(\vec r)$ zu. Jedem Kraftvektor $\vec F(\vec r)$ kann eine lineare Abbildung $\left\langle \vec F, \cdot \right\rangle$ zugeordnet werden, die mittels des Skalarproduktes $\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle$ einen beliebigen Vektor $\vec r$ linear auf den Zahlenkörper $\mathbb{R}$ abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei $\vec e_i$ mit i=1,2 oder 3 die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

$\left\langle \vec F, \cdot \right\rangle =\sum_{i=1}^3 f_i dx_i$.

Die Differentiale dx_i sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

$\left\langle \vec e_i, \cdot \right\rangle = dx_i$.

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges $\vec\varphi:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}^3$ von einem Ort $\vec\varphi(a)$ zu einem Ort $\vec\varphi(b)$ zu bewegen. Die Größe W der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

$W=\int_{\vec \varphi} \vec F= \int_{a}^{b} \left\langle \vec F(\vec \varphi(s)), \dot{\vec \varphi}(s)\right\rangle ds$

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe W der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion V eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft $\vec F$ genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials V wiederum die Kraft $\vec F$ dar. Es gilt:

$\vec F=-\mathrm{grad}\, V = -\nabla \, V$

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

Zweites Beispiel „Entropie“

Eine weitere wichtige Anwendung der Theorie der Differentialformen liegt im Bereich der Thermodynamik. Gemäß der Clausiuschen Ungleichung gilt:

$\oint_c\frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q} \le 0$

T stellt die Temperatur des thermodynamischen Systems und δQ den Wärmeaustauschkontakt des Systems mit seiner Umgebung dar. Das thermodynamische System kann beispielsweise ein Gas darstellen, dessen unabhängige Zustandsgrößen Temperatur T, Druck P und Volumen V des Gases sind. Die Koordinatendarstellung des Wärmeaustauschkontakts ist damit gegeben durch:

$\overrightarrow {\delta Q} = f_P*\overrightarrow {dP} + f_V*\overrightarrow {dV} + f_T*\overrightarrow {dT}$.

Das vorstehende Integral wird entlang eines geschlossenen Weges c im dreidimensionalen Zustandsraum (P,V,T) gebildet. Ein geschlossener Weg c im Zustandsraum wird in der Thermodynamik Kreisprozess genannt. Die Differentialform $\frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q}$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn jeder Kreisprozess reversibel ist:

$\oint_c\frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q}_{rev} = 0$

In diesem Fall besitzt die Pfaffsche Form $\frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q}_{rev}$ eine Stammfunktion S, die Entropie genannt wird. Für reversible Kreisprozesse gilt:

$\overrightarrow {DS} = \frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q}_{rev}$

1/T stellt einen integrierenden Faktor dar, der aus der Differentialform $\vec {\delta Q}_{rev}$ ein totales Differential $\vec {DS}$ erzeugt.

Hieraus folgt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

$\int_{\vec \varphi} \overrightarrow {DS} \ge\int_{\vec \varphi} \frac{1}{T}\overrightarrow {\delta Q}$ oder $\Delta S \ge \frac{1}{T} \Delta Q$

In einem isolierten System gibt es keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung, weshalb gilt $\Delta S \ge 0$. Es folgt aus dem zweite Hauptsatz, dass die Entropie eines isolierten Systems nicht abnehmen kann.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995