Polarzerlegung

Polarzerlegung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und Funktionalanalysis, beides Teilgebiete der Mathematik. Er bezieht sich auf eine spezielle Zerlegung in ein Produkt von Matrizen mit reellen oder komplexen Einträgen, und in Verallgemeinerung von linearer Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Die Polarzerlegung von Matrizen und Operatoren verallgemeinert die Polarzerlegung einer nichtverschwindenden komplexen Zahl z in das Produkt ihres Betrags r = | z | und einer Zahl $e^{i \varphi}$ auf dem komplexen Einheitskreis, mit dem Argument φ von z, also:

$z = r \cdot e^{i \varphi}.$

Polarzerlegung reeller oder komplexer Matrizen

Ist A eine quadratische Matrix, so bezeichnet man als (linke) Polarzerlegung eine Faktorisierung A = UP, wobei

• im reellen Fall U eine orthogonale und P eine positiv semidefinite symmetrische Matrix ist, d.h., $U^T\,U=UU^T=I$ und P^T = P, $P\ge 0$;
• im komplexen Fall U eine unitäre und P eine positiv semidefinite hermitesche Matrix ist, d.h., $U^*\,U=U\,U^*=I$ und $P^\ast=P$, $P\ge 0$.

Ist A invertierbar, so ist die Zerlegung eindeutig und U bzw. -U sind die orthogonalen bzw. unitären Matrizen mit dem geringsten bzw größten Abstand zu A.

Berechnung der Polarzerlegung

(Die reellen Methoden sind ein Spezialfall der komplexen, die adjungierten Matrizen $X^\ast$ sind dann gleich den transponierten Matrizen $X^T\,$.)

Über die Singulärwertzerlegung

Mit der Singulärwertzerlegung $A=V\,\Sigma\,W^*$ kann man die Polarzerlegung als $U=V\,W^*$ und $P=W\,\Sigma\,W^*$ bestimmen.

Als iterative Bestimmung des symmetrischen Faktors

P kann als die eindeutig bestimmte positiv semidefinite Quadratwurzel von $B=A^\ast\,A=PU^*UP=P^2$ bestimmt werden. Dazu kann das Heronsche Wurzelverfahren verallgemeinert werden zu P₀ = I und $P_{k+1}=\tfrac12(P_k+P_k^{-1}B)$. Ist A invertierbar, so konvergiert das Verfahren mit Grenzwert P und $U=A\,P^{-1}$.

Als iterative Bestimmung des orthogonalen Faktors

Ein anderes aus dem Heronschen Wurzelziehen abgeleitetes Verfahren bestimmt den unitären Faktor U als Grenzwert der Rekursion

U₀ = A und $U_{k+1}=\tfrac12(U_k+(U_k^*)^{-1})$.

Diese ist lokal quadratisch konvergent. Zur Beschleunigung der globalen Konvergenz, insbesondere falls alle Singulärwerte von A sehr groß oder alle sehr klein sind, reskaliert man die Iteration zu

$U_{k+1}=\tfrac12(\gamma_kU_k+(\gamma_kU_k^*)^{-1})$,

wobei $\gamma_k^{-1}$ nahe dem geometrischen Zentrum der Singulärwerte von U_k liegen sollte und durch Kombinationen verschiedener Matrixnormen von U_k und deren Inverser geschätzt werden kann.^[1][2] Vorgeschlagen wurden u.a. die Faktoren

$\gamma_k=\sqrt[4\;]{\frac{ \|U_k^{-1}\|_1\,\|U_k^{-1}\|_\infty }{ \|U_k\|_1\,\|U_k\|_\infty } }$

mit den Zeilen- und Spaltensummennormen sowie

$\gamma_k=\sqrt{\frac{\|U_k^{-1}\|_F}{\|U_k\|_F}}$

mit der Frobenius-Matrixnorm.

Polarzerlegung von Operatoren

Abstrakt definiert man:

Eine (linke bzw. rechte) Polarzerlegung eines linearen Operators A auf einem Hilbertraum, das heißt $A \in \mathcal{L}(H)$, ist eine der folgenden multiplikativen Zerlegungen:

$A = U \sqrt{A^{*} A} = \sqrt{AA^{*}}\, U.$

Hier sind $\sqrt{A^* A}$ und $\sqrt{AA^*}$ positive Operatoren, die mittels des stetigen Funktionalkalküls gebildet werden, und $U \in \mathcal{L}(H)$ ist eine partielle Isometrie, das heißt U ^* UU ^* U = U ^* U.

Nach einem Satz der Funktionalanalysis existiert zu jedem linearen Operator A auf einem Hilbertraum H eine solche Polarzerlegung.

Statt $\sqrt{A^{*} A}$ schreibt man auch $\left| A \right|$. Wenn A invertierbar ist, so auch | A | und U ist unitär.

Anwendungsbeispiel

In der Kontinuumsmechanik findet die "polare Zerlegung" des Deformationsgradienten eine Anwendung in der Beschreibung von Deformationen und den daraus definierten Verzerrungstensoren.

Verwandte Themen

• Singulärwertzerlegung

Literatur

1. ↑ Nicholas J. Higham: Computing the polar decomposition with applications. In: Society for Industrial and Applied Mathematics (Hrsg.): SIAM J. Sci. Stat. Comput.. 7, 1986, S. 1160-1174. doi:10.1137/0907079.
2. ↑ Ralph Byers, Hongguo Xu: A New Scaling for Newton's Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability. In: Society for Industrial and Applied Mathematics (Hrsg.): SIAM J. Matrix Anal. Appl.. 30, 2008, S. 822-843. doi:10.1137/070699895.

• W. Rudin: Functional Analysis, 2^nd ed., McGraw-Hill, 1991, pp. 330–333.