- Partielle Isometrie
-
Eine partielle Isometrie ist ein spezieller Typ von im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchten Operatoren. Dabei handelt es sich um Operatoren, die sich auf einem Teilraum wie eine Isometrie verhalten und sonst 0 sind, das erklärt ihren Namen. Mittels partieller Isometrien werden Äquivalenzen von Projektionen definiert.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Seien H ein Hilbertraum und
ein stetiger linearer Operator. U heißt eine partielle Isometrie, wenn die Einschränkung von U auf das orthogonale Komplement von ker(U) eine Isometrie ist, d.h.
.
Das orthogonale Komplement des Kerns einer partiellen Isometrie nennt man ihren Anfangsraum (engl. initial space), das Bild einer partiellen Isometrie heißt ihr Zielraum (engl. final space). Demnach ist eine partielle Isometrie eine Isometrie zwischen ihrem Anfangsraum und ihrem Zielraum.
Beispiele
- Isometrien (speziell also auch unitäre Operatoren) sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass ker(U) = {0}.
- Orthogonalprojektionen sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass der isometrische Anteil, d.h. die Einschränkung der Orthogonalprojektion auf das orthogonale Komplement ihres Kerns, die Identität ist.
ist eine partielle Isometrie mit Anfangsraum
und Zielraum
. In diesem Beispiel liegt der Zielraum schräg zur Zerlegung Kern + Anfangsraum.
Eigenschaften
Ist U eine partielle Isometrie, so ist im(U * U) der Anfangsraum, im(UU * ) ist der Zielraum.
Für einen stetigen, linearen Operator U auf einem Hilbertraum sind folgende Aussagen äquivalent:
- U ist eine partielle Isometrie.
- U * U ist eine Projektion.
- U = UU * U
Mit U ist auch U * eine partielle Isometrie, wobei Anfangs- und Zielraum ausgetauscht sind.
Äquivalenz von Projektionen
Es sei
eine von-Neumann-Algebra, d.h. es gibt einen Hilbertraum H, so dass
eine C*-Algebra ist, die mit ihrem Bikommutanten übereinstimmt (siehe Bikommutantensatz). Zwei Orthogonalprojektionen P und Q aus
heißen äquivalent (bezüglich
) und man schreibt
, wenn es eine partielle Isometrie U mit Anfangsraum im(P) und Zielraum im(Q) gibt, das heißt in Formeln P = U * U und Q = UU * . Weiter schreibt man
, wenn P äquivalent zu einer Unterprojektion von Q ist, das heißt wenn es eine Projektion P' gibt mit
.
Man kann zeigen, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Projektionen von
ist, und dass
eine partielle Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen definiert. Ferner ist
äquivalent zu
und
. Diese Ordnungsrelation spielt eine wichtige Rolle bei der Typklassifikation von von-Neumann-Algebren.
Siehe auch
Partielle Isometrien spielen eine wichtige Rolle in der Polarzerlegung von Operatoren.
Quellen
- Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 0387906851
- V. S. Sunder: An Invitation to Von Neumann Algebras (1987), ISBN 0387963561
Wikimedia Foundation.