Deformationsgradient

Konfigurationen, die ein Körper bei Deformation von t₀ nach endlicher Zeit t einnimmt.

Der Deformationsgradient $\bold{F}$ stellt eine tensorielle Abbildung zweier Konfigurationen dar und ist die in der Kontinuumsmechanik grundlegende Größe zur Beschreibung von Verformungen in Körpern aufgrund von Belastungen.

Oft wird mit dem Deformationsgradienten die Abbildung eines materiellen Punktes $\bold{X}$ (bzw. eines (infinitesimal kleinen) Linienelements $\mathcal {}d\bold{X}$ an $\bold{X}$) zum Zeitpunkt $\mathcal {}t_0$ aus der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration im Euklidischen Punktraum $\mathbb{E}^3$ in die aktuelle oder Momentankonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt $\mathcal {}t$ dargestellt. Der Differenz- oder Verschiebungsvektor zwischen $\bold{x}$ und $\bold{X}$ wird mit $\bold{u}$ gekennzeichnet.

Ganz allgemein kann man sich eine solche Abbildung aber auch zwischen beliebig anderen zu definierenden Konfigurationen vorstellen. Beispiele hierfür finden sich in der Beschreibung der Plastizitätstheorie. Die zeitliche Abfolge und damit fortlaufende Abbildung mit sich möglicherweise auch ändernden Deformationsgradienten wird als Bewegung bezeichnet.

Polare Zerlegung

Der Deformationsgradient $\bold{F}$ lässt sich eindeutig "polar" zerlegen. Durch Anwendung der Polarzerlegung erhält man alternativ die Darstellungen

$\bold{F} = \bold{R \cdot U} = \bold{v \cdot R}$.

Dabei wird mit $\bold{R}$ eine "eigentlich orthogonale Drehmatrix" bzw. -tensor beschrieben. Mit $\bold{U}$ wird der (symmetrische) Rechts-Strecktensor bzgl. der Ausgangskonfiguration und analog dazu mit $\bold{v}$ der (symmetrische) Links-Strecktensor bzgl. der Momentankonfiguration beschrieben. (Eselsbrücke: $\bold{U}$ steht rechts von $\bold{R}$ und $\bold{v}$ links davon in der polaren Darstellung.)

Volumenverhältnis

Die Determinante von $\bold{F}$ gibt das Volumenverhältnis $J = \det \bold{F} = \frac{dv}{dV}$ des betrachteten materiellen Punktes bei der Deformation an.

Damit ergibt sich u.a., dass $J = \det \bold{F}$ nicht negativ sein/werden kann, sonst wäre die Deformation physikalisch nicht möglich (Inversion des materiellen Punktes).

Bleibt bei einer Deformation das Volumen erhalten, also $J\equiv 1$ spricht man von Inkompressibilität. Bei Gummi- oder Elastomer-Werkstoffen ist dies eine übliche Annahme in der kontinuumsmechanischen Beschreibung und durch das Verhalten dieser Werkstoffklasse sehr gut gerechtfertigt.

Literatur

• J. Altenbach, H.Altenbach: Einführung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-03096-9, S. 38.