- Deformationsgradient
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Der Deformationsgradient
stellt eine tensorielle Abbildung zweier Konfigurationen dar und ist die in der Kontinuumsmechanik grundlegende Größe zur Beschreibung von Verformungen in Körpern aufgrund von Belastungen.
Oft wird mit dem Deformationsgradienten die Abbildung eines materiellen Punktes
(bzw. eines (infinitesimal kleinen) Linienelements
an
) zum Zeitpunkt
aus der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration im Euklidischen Punktraum
in die aktuelle oder Momentankonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt
dargestellt. Der Differenz- oder Verschiebungsvektor zwischen
und
wird mit
gekennzeichnet.
Ganz allgemein kann man sich eine solche Abbildung aber auch zwischen beliebig anderen zu definierenden Konfigurationen vorstellen. Beispiele hierfür finden sich in der Beschreibung der Plastizitätstheorie. Die zeitliche Abfolge und damit fortlaufende Abbildung mit sich möglicherweise auch ändernden Deformationsgradienten wird als Bewegung bezeichnet.
Polare Zerlegung
Der Deformationsgradient
lässt sich eindeutig "polar" zerlegen. Durch Anwendung der Polarzerlegung erhält man alternativ die Darstellungen
.
Dabei wird mit
eine "eigentlich orthogonale Drehmatrix" bzw. -tensor beschrieben. Mit
wird der (symmetrische) Rechts-Strecktensor bzgl. der Ausgangskonfiguration und analog dazu mit
der (symmetrische) Links-Strecktensor bzgl. der Momentankonfiguration beschrieben. (Eselsbrücke:
steht rechts von
und
links davon in der polaren Darstellung.)
Volumenverhältnis
Die Determinante von
gibt das Volumenverhältnis
des betrachteten materiellen Punktes bei der Deformation an.
Damit ergibt sich u.a., dass
nicht negativ sein/werden kann, sonst wäre die Deformation physikalisch nicht möglich (Inversion des materiellen Punktes).
Bleibt bei einer Deformation das Volumen erhalten, also
spricht man von Inkompressibilität. Bei Gummi- oder Elastomer-Werkstoffen ist dies eine übliche Annahme in der kontinuumsmechanischen Beschreibung und durch das Verhalten dieser Werkstoffklasse sehr gut gerechtfertigt.
Literatur
- J. Altenbach, H.Altenbach: Einführung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-03096-9, S. 38.
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