Polynomialkoeffizient

Der Polynomialkoeffizient (oder Multinomialkoeffizient) ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen n,k₁,...,k_r mit k₁ + ... + k_r = n ist er definiert als

${n \choose k_1, \dots , k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdot k_r!}$

Dieser ist stets eine natürliche Zahl. Dabei ist x! die Fakultät von x.

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt der sogenannte Polynomialsatz (oder Multinomialsatz)

$(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.$

Anwendung

Anwendung findet der Multinomialkoeffizient in der Multinomialverteilung:

$P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dots , k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_r^{k_r},$

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Beispiel

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 32 Karten eines Skatspiels zu je 10 Karten an die 3 Spieler sowie zu 2 Restkarten in den "Skat" zu legen? Die Antwort liefert der Polynomialkoeffizient:

${32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Multinominal Coefficient auf MathWorld (englisch)