Allgemeine binomische Formel

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}$

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

Dieser Satz zählt in seiner allgemeinen Form mit einem reellen oder gar komplexen Exponenten zu den erstaunlichsten mathematischen Theoremen. Auf einer 1999 veröffentlichten Liste der 100 erstaunlichsten mathematischen Sätze^[1] ist er auf Platz 44 gelistet.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form (x + y)ⁿ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente x und y eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in\Bbb N_0$ gilt die Gleichung:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen x und y. (Man beachte dabei 0⁰ = 1.)

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${n \choose k} = \frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}$  ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$ ist hierbei die Fakultät von n bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${n\choose k} x^{n-k}y^k$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${n\choose k}$ an das Ringelement x^{n − k}y^k aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\Z$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste Binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur x und y miteinander kommutieren, d.h. $x\cdot y = y\cdot x$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

$(x+y)^n = x^n + \left[ \sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} \right] + y^n$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es den polynomischen Lehrsatz.

Herleitung

Der Beweis [1] funktioniert durch Induktion über n; für jedes konkrete n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

$(x+y)^3={3 \choose 0} x^{3} + {3 \choose 1} x^{2}y + {3 \choose 2} xy^{2} + {3 \choose 3} y^{3}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

$(x-y)^3={3 \choose 0} x^{3} + {3 \choose 1} x^{2}(-y) + {3 \choose 2} x(-y)^{2} + {3 \choose 3}(-y)^{3}=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha - k} \quad (2)$.

Diese Reihe konvergiert für alle $x,y\in\mathbb{C}$ mit | x / y | < 1.

Im Spezialfall $\alpha\in\mathbb{N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in\mathbb{C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

${\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!}$.

Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

Einzelnachweise

1. ↑ The Hundred Greatest Theorems