Power law

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Die Potenzgesetze (engl. power law) gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene als polynomielle Abhängigkeiten

Modelle zur Erklärung

Es gibt verschiedene Modelle zur Erklärung eines Potenzgesetzes.

Exponentielles Wachstum

Ein Potenzgesetz ergibt sich auch aus exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Größe der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz.

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt t nach exponentiellem Wachstum

n(t) = e^νt

Die Größe einer zum Zeitpunkt t_i gegründeten Stadt zum Zeitpunkt t ist ebenso exponentiell wachsend

$k_i=e^{\mu (t-t_i)} \;\;\; (\in [1,\infty[)$ .

Die Verteilungsfunktion der Größen von Städten ist

$P[k_i(t) < k] = P[e^{\mu (t-t_i)} < k]$

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus

$P[k_i(t) < k] = P[\mu(t-t_i) < \ln{k}] = P[t-t_i < \ln{k^{1/\mu}}] = 1 - P[t_i \leq t - \ln{k^{1/\mu}}]$

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t, dass eine zufällige Stadt i, vor einem gewählten Zeitpunkt t₀ gegründet worden ist, beträgt

$P_t[t_i < t_0]= \frac{n(t_0)}{n(t)} = \frac{e^{\nu t_0}}{e^{\nu t}}=e^{\nu (t_0-t)}$

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze t₀ = t − lnk^{1 / μ}), ergibt sich die Verteilungsfunktion

$P[k_i(t) < k] = 1 - e^{\nu (t - \ln{k^{1/\mu}} - t)} = 1-e^{\ln{k^{-\nu/\mu}}} = 1 - \frac{1}{k^{\nu/\mu}}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichte (Ableitung der Verteilungsfunktion) ist:

$p(k) = \alpha \frac{1}{k^{1+\nu/\mu}} \;,\;\;\; k \in [1,\infty[$

Siehe auch

• Pareto-Verteilung
• Zipfsches Gesetz, Lotkas Gesetz
• Allometrie, Potenz

Literatur

• Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21-87
• Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ Press, Cambridge 1922
• Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), 1169–1174
• Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison Wesley, Cambridge, MA 1949