Problem der exakten Überdeckung

Das Problem der exakten Überdeckung (englisch Exact Cover) ist ein Entscheidungsproblem der Kombinatorik. Es gehört zu den 21 klassischen NP-vollständigen Problemen, von denen Richard M. Karp 1972 gezeigt hat, dass sie NP-vollständig sind.

Gegeben ist eine Menge $X$ und eine Menge $S$ , die Teilmengen von $X$ enthält, also $S \subseteq \mathcal{P}(X)$ , wobei $\mathcal{P}(X)$ die Potenzmenge von $X$ bezeichnet.

Gesucht ist eine Teilmenge $U$ von $S$ , deren Disjunkte Vereinigung $X$ ist:

$X = \dot{\bigcup_{X_i\in U}}X_i$ .

D. h. jedes Element in $X$ soll in genau einer der Mengen in $U$ vorkommen. Die Mengen in $U$ bilden also eine exakte Überdeckung von $X$ .

Grafische Darstellung des Beispiels (die exakte Überdeckung ist rot eingezeichnet)

Zum Beispiel sei

X = {a, b, c, d, e, f}

und

S = {{a, b},{a, b, c},{c, e},{d, f},{e, f}}

Die Menge

U = {{a, b},{c, e},{d, f}}

zeigt, dass eine exakte Überdeckung existiert.

Karps 21 NP-vollständige Probleme

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