- Disjunkte Vereinigung
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Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe.
Erste Variante: Vereinigung disjunkter Mengen
Eine Menge X ist die disjunkte Vereinigung eines Systems
von Teilmengen
, geschrieben
wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
falls
, das heißt die Xi sind also paarweise disjunkt;
, das heißt X ist die Vereinigung aller Mengen Xi.
Zweite Variante: Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen
Sind Mengen Xi für
gegeben, so heißt die Menge
die disjunkte Vereinigung der Mengen Xi. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.
Eigenschaften
- Für die Mächtigkeiten gilt:
.
ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen
entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen
mit
.
- Sind die Mengen Xi disjunkt, so ist die kanonische Abbildung
bijektiv.
- Die disjunkte Vereinigung
ist das Koprodukt in der Kategorie der Mengen.
Beispiele
Beispiel nach der ersten Definition
Disjunkte Vereinigung von A = {1,2,3} und B = {4,5,6}.
Beide Mengen sind disjunkt
- C ist die disjunkte Vereinigung der Mengen A und B ⇒ C = {1,2,3,4,5,6}
- Die Mengen A und B bilden hierbei eine Partition der Menge C
Beispiel nach der zweiten Definition
Disjunkte Vereinigung von X1 = {1,2,3} und X2 = {1,2,3,4}.
- I = {1,2}
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