Produkt (Kategorientheorie)
- Produkt (Kategorientheorie)
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Produkt in der Kategorientheorie
In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten 
ein Paar 
, wobei
- P ein Objekt ist,
- pri ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach Ai ist (für jedes i aus I),
- und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen fi von C nach Ai es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit
.
Dieses Produkt wird also über eine so genannte universelle Eigenschaft definiert und ist lediglich bis auf Isomorphie eindeutig.
Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt:
- In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
- In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen pr(i) noch stetig sind.
- In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.
Literatur
- Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2. Hanser Verlag, München 1976, ISBN 3-446-12172-2 (Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure), siehe Kapitel 10: Kategorien.
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