Produkttopologie

In der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition

Für jedes i aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge I sei X_i ein topologischer Raum. Sei $X = \textstyle \prod_{i\in I} X_i$ das kartesische Produkt der Mengen X_i. Für jeden Index $i\in I$ haben wir eine kanonische Projektion $p_i: X\to X_i$. Dann ist die Produkttopologie auf X definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen p_i stetig sind. Man nennt X mit dieser Topologie den Produktraum der X_i.

Explizite Beschreibung

Man kann die Topologie auf X explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume X_i unter den kanonischen Projektionen $p_i: X\to X_i$ bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d.h. eine Teilmenge von X ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Durchschnitten je endlich vieler Mengen der Form $p_i^{-1}(O)$ ist, wobei i in I liegt und O eine offene Teilmenge von X_i ist. Daraus folgt, dass im Allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen (ist I endlich, dann ist das jedoch immer so).

Universelle Eigenschaft

Der Produktraum X zusammen mit den kanonischen Projektionen p_i wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist Y ein topologischer Raum und für jedes i in I ist $f_i: Y \to X_i$ stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion $f: Y \to X$, so dass $p_i\circ f = f_i$ für alle i in I gilt.

Beispiele

• Die Produkttopologie auf dem n-fachen kartesischen Produkt $\R^n$ der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.

• Die Produkttopologie auf einem Funktionenraum $\mathbb{R}^{M}$ ist die Topologie der punktweisen Konvergenz.

• Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums {0,1}.

• Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

• Der Ring $\Z_p$ der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume $\Z/p^n\Z$ versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf $\Z_p$.

Eigenschaften

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die X_i konvergieren. Insbesondere ist für den Raum $\R^I$ aller Funktionen von I nach $\R$ die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion $f: Y \to X$ stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: f ist stetig genau dann, wenn alle $p_i\circ f$ stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion $g: X \to Z$ stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der p_i auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges

• Ein verwandter Begriff ist die Summentopologie.
• Die Produkttopologie ist eine spezielle Initialtopologie.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).