Kartesisches Produkt

In der Mathematik bezeichnet man als kartesisches Produkt (nach René Descartes) zweier Mengen A und B die Menge aller geordneten Paare (a,b), wobei a aus A und b aus B ist. (Kombination: „Jedes mit jedem“.) Geschrieben wird es als $A \times B$, gelesen als A kreuz B:

$A \times B := \left\{(a, b)|a \in A, b \in B\right\}$.

Eine Verallgemeinerung ist das kartesische Produkt von n Mengen $A_1,\dots,A_n$, es besteht aus allen n-Tupeln ($a_1,\dots,a_n$) mit a_i aus A_i, man schreibt es als $A_1 \times \dots \times A_n$, oder als

$\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times \dots \times A_n := \left\{(a_1,\dots, a_n)| a_i \in A_i \quad i = 1,\dots, n \right\}$

Ist eine der Mengen A_i leer, dann ist auch das kartesische Produkt die leere Menge.

Das n-fache kartesische Produkt, bei dem alle A_i' gleich A sind, schreibt man auch als Aⁿ.

$A^n := \prod_{i=1}^n A$

Beispiele

Beispiel 1

Sei $A=\left\{a, b, c\right\}$ und $B=\left\{x, y\right\}$. Dann ist: $A \times B = \left\{(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)\right\}$.

Beispiel 2

Sei A = {0,1}, dann ist $A^3 = A \times A \times A = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}$.

Beispiel 3

Der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt von $\mathbb R$. Die 3-Tupel nennt man auch kartesische Koordinaten.

Beispiel 4

November/Dezember 2004

W Mo Di Mi Do Fr Sa So 45 1 2 3 4 5 6 7 46 8 9 10 11 12 13 14 47 15 16 17 18 19 20 21 48 22 23 24 25 26 27 28 49 29 30 1 2 3 4 5

Ein sehr elementares nichtmathematisches Beispiel ist unser Kalender, in dem die Wochentage waagerecht nebeneinander angeordnet sind und die Wochen untereinander. Jeder einzelne Tag ist durch die Angabe seiner Kalenderwoche und des Wochentages bestimmt: Alle untereinander in einer Spalte stehenden Tage haben denselben Wochentag, alle nebeneinander in einer Zeile stehenden Tage liegen in derselben Kalenderwoche.

So ist durch die Angabe (47. Kalenderwoche 2004, Montag) der 15. November 2004 bestimmt; der 1. Dezember 2004 hat die Koordinaten (49. Kalenderwoche 2004, Mittwoch).

Eigenschaften

Länge der Tupel

Die Länge der Ergebnistupel von $\prod_{i=1}^n A_i$ ist immer die Anzahl der miteinander verknüpften Mengen, nämlich n.

Anzahl der Elemente

Sind $A_1,\ldots,A_n$ endlich viele Mengen, die alle endlich sind, dann ist auch ihr kartesisches Produkt eine endliche Menge, und die Anzahl seiner Elemente ist gleich dem Produkt der Elementarzahlen der A_i:

$|A_1 \times \ldots \times A_n| = |A_1|\cdot\ldots\cdot|A_n|$

bzw. in anderer Schreibweise:

$|\prod_{i=1}^n A_i| = \prod_{i=1}^n |A_i|$

In dem Spezialfall, dass alle Mengen gleich sind, gilt:

$|A^n| = \prod_{i=1}^n |A| = |A|^n$

Leeres Produkt

Das kartesische Produkt von 0 Mengen ist die Menge, die als einziges Element das leere oder 0-Tupel enthält.

$\prod_{i=1}^0 A_i = \left\{()\right\}$

$|\prod_{i=1}^0 A_i| = \prod_{i=1}^0 |A_i| = 1$

Assoziativgesetz

Das kartesische Produkt ist nicht assoziativ;

$A_1 \times \left(A_2 \times A_3\right)$

enthält Paare, deren erstes Element aus A₁ und deren zweites Element ein Paar aus $A_2\times A_3$ ist;

$\left(A_1 \times A_2 \right)\times A_3$

enthält hingegen Paare, deren erstes Element ein Paar aus $A_1\times A_2$ und deren zweites Element aus A₃ ist. Da es aber eine kanonische Bijektion zwischen diesen Mengen gibt, kann der Unterschied zwischen $A_1 \times \left(A_2 \times A_3\right)$ und $\left(A_1 \times A_2 \right)\times A_3$ in vielen Fällen vernachlässigt werden, da er lediglich einer Notationsänderung entspricht.

Kommutativgesetz

Das kartesische Produkt ist auch nicht kommutativ; bei $A_1 \times A_2$ ist das erste Element aus A₁ und das zweite aus A₂; bei $A_2 \times A_1$ hingegen ist das zweite Element aus A₁ und das erste aus A₂. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen $A_1 \times A_2$ und $A_2 \times A_1$.

Distributivgesetze

Distributivgesetz

Es gelten folgende Distributivgesetze:

$\left(A_1 \cup A_2\right) \times B = \left(A_1 \times B\right) \cup \left(A_2 \times B\right)$

$B \times \left(A_1 \cup A_2\right) = \left(B \times A_1\right) \cup \left(B \times A_2\right)$

$\left(A_1 \cap A_2\right) \times B = \left(A_1 \times B\right) \cap \left(A_2 \times B\right)$

$B \times \left(A_1 \cap A_2\right) = \left(B \times A_1\right) \cap \left(B \times A_2\right)$

Sonstige Rechenregeln

Es gilt zwar

$\left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right) = \left(A_1 \times B_1\right) \cap \left(A_2 \times B_2\right)$,

aber es kann durchaus sein, dass

$\left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right) \neq \left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right)$,

wie z. B. am Beispiel

$A_1=\emptyset, A_2=\lbrace a\rbrace, B_1=\lbrace b\rbrace, B_2=\emptyset$

ersichtlich:

$\left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right)=\lbrace\left(a,b\right)\rbrace$

aber

$\left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right)=\emptyset$.

Unendliches kartesisches Produkt

Die obige Definition eines kartesischen Produkts von endlich vielen Mengen ist für viele Zwecke ausreichend. Es ist jedoch möglich, das kartesische Produkt beliebig vieler (z. B. überabzählbar vieler) Mengen zu definieren.

Ist Λ eine Menge (eine so genannte Indexmenge) und $\{A_\lambda | \lambda \in \Lambda\}$ ein System von Mengen (eine so genannte Mengenfamilie), dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen A_λ so:

$\prod_{\lambda \in \Lambda } A_\lambda = \Big\{ f \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda } A_\lambda \ \Big|\ \forall \lambda \in \Lambda \colon f(\lambda ) \in A_\lambda \Big\}$

Dies ist die Menge aller Abbildungen von Λ in die Vereinigung der A_λ, für die das Bild von λ in A_λ liegt. Für endliche Indexmengen $\Lambda = \{1,2,\ldots,n\}$ lässt sich diese Menge bijektiv auf das oben definierte Produkt abbilden, denn jedes n-Tupel $(a_1, \ldots, a_n)$ definiert eine Funktion f mit $f(1):=a_1,\ldots,f(n):=a_n$ und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Tupel $(f(1),\ldots,f(n))$ schreiben.

Sind alle A_λ gleich einer Menge A, dann ist das kartesische Produkt

$A^\Lambda \,= \, \prod_{\lambda \in \Lambda} A$ die Menge aller Funktionen von Λ nach A.

Ein besonders wichtiger und bekannter Fall ist die Indexmenge $\Lambda = \mathbb{N}$ (die Menge der natürlichen Zahlen). In diesem Fall erhält man als kartesisches Produkt die Menge aller Folgen, deren i-tes Glied in der Menge A_i liegt. Sind z. B. alle $A_i = \mathbb{R}$ (die Menge der reellen Zahlen), dann ist

$\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^{\mathbb N}= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots$ die Menge aller reellen Zahlenfolgen.

Für andere unendliche Indexmengen als N und unterschiedliche Mengen A_λ ist das kartesische Produkt weit weniger anschaulich: Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxioms, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

Verwandte Begriffe

Ein direktes Produkt ist ein kartesisches Produkt algebraischer Strukturen wie z. B. Gruppen, das zusätzlich mit einer komponentenweisen Verknüpfung versehen ist.

Eine direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet: Sie besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.

Der Artikel Produkt (Mathematik) enthält weitere Produkt-Begriffe.

Jede Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt – Lern- und Lehrmaterialien