- Ptolemäische Ungleichung
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Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. a,b,c,d bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, e,f die Diagonallängen eines Vierecks.
Inhaltsverzeichnis
Verallgemeinerte Dreiecksungleichung
In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:
Daraus folgt:
Ptolemäische Ungleichung
In jedem Viereck gilt
- .
Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz des Ptolemäus).
Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen
In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:
Vierecksungleichung für Metriken
Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:
- .
Beweis
Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:
Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann
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