Ungleichung

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In der Mathematik ist eine Ungleichung eine vergleichende Aussage über zwei Terme. Während eine Gleichung aussagt, dass zwei Terme denselben Wert ergeben, besagt eine Ungleichung, dass einer der Terme kleiner beziehungsweise kleiner-gleich ist als der andere.

Die Schreibweise erfolgt mittels Verhältniszeichen:

• a < b bedeutet a ist kleiner als b
• a > b bedeutet a ist größer als b
• $a\le b$ bedeutet a ist kleiner oder gleich b
• $a\ge b$, bedeutet a ist größer oder gleich b

Wenn die Aussage einer Ungleichung für alle Werte, für die sie definiert ist, die gleiche ist (z. B. n > − 1 für n aus $\N$), heißt die Ungleichung absolut oder unbedingt. Gilt die Ungleichung nur für einige Werte der verwendeten Variablen, wird aber für andere Werte umgekehrt oder ist ungültig, so heißt sie bedingt.

Sobald in einer mathematischen Ungleichung die Betragsfunktion enthalten ist, spricht man von einer Betragsungleichung.

Ungleichungen können eine Ordnungsrelation definieren.

Eigenschaften und Rechenregeln

Ein Vergleich zwischen einer Zahl a, die größer [größer oder gleich] b ist kann umgestellt werden, so gilt:

$(a>b)\leftrightarrow{}(b<a)$

$(a\ge{}b)\leftrightarrow{}(b\le{}a)$

Die Richtung einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich viel verkleinert oder vergrößert wird, oder wenn beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden. Multipliziert oder dividiert man hingegen mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um (Inversionsgesetz).

Trichotomiegesetz

Für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der folgenden Beziehungen:

• a < b
• a = b
• a > b

Addition und Subtraktion

Für beliebige reelle Zahlen a,b,c und d gilt:

• Wenn a > b, dann ist a + c > b + c und a − c > b − c.
• Wenn a < b und c < d, dann ist a + c < b + d und a − d < b − c.

Multiplikation und Division

Für beliebige reelle Zahlen a,b und c mit $c\ne 0$ gilt:

• Wenn c positiv ist und a > b, dann ist ac > bc und a / c > b / c
• Wenn c negativ ist und a > b, dann ist ac < bc und a / c < b / c

Mit anderen Worten: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Erweiterung des Begriffes

Der Ungleichungsbegriff wird auch gelegentlich – jedoch nicht einheitlich – z. B. auf komplexe Zahlen, Vektoren oder Matrizen erweitert. Beispiele sind:

• Ist $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$, so gilt x > 0 genau dann, wenn x_i > 0 für alle $i\in\{1,\ldots,n\}$.
  Sind $x,y\in\R^n$, so gilt x > y genau dann, wenn x − y > 0.
  Analog werden $<,\le,\ge$ definiert.
• Ist $A\in\R^{n,m}$, so gilt A > 0 genau dann, wenn A positiv definit ist.
  Sind $A,B\in\R^{n,m}$, so gilt A > B genau dann, wenn A − B > 0.
  Ähnlich können auch < oder $\le,\ge$ (semidefinit) definiert werden.
• Sei $(E,\|\cdot\|)$ ein reeller Banachraum und $K\subseteq E$ ein Kegel. Sind $x,y\in E$, so gilt $x\le y$ genau dann, wenn $y-x\in K$.

Bekannte Ungleichungen

In der Mathematik werden oft Ungleichungen benutzt um Größen, die nicht, oder nur schwer, genau berechnet werden können, einzugrenzen. Folgende Ungleichungen werden sehr häufig benutzt:

• Bernoullische Ungleichung
• Bonferroni-Ungleichungen
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung
• Dreiecksungleichung
• Jensensche Ungleichung
• Markow-Ungleichung
• Mittel-Ungleichung
• Tschebyschow-Ungleichung
• Korrelationsungleichung

Siehe auch

• Lösen von Ungleichungen

Literatur

• Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, George Polya: Inequalities. Cambridge University Press, 1952.
• Peter Patzt: Ungleichungstheorie, 2006 (PDF).