Punktgruppen

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie einer Punktmenge (beispielsweise eines Körpers) beschreibt. Die Punktgruppe einer Symmetriegruppe enthält die so genannten Ableitungen der affinen Elemente einer Symmetriegruppe.

In der Kristallographie stellt jede der 32 möglichen Kristallklassen eine Punktgruppe dar. Deren Bestimmung ist somit ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Bestimmung der Raumgruppe, die die Symmetrie eines Kristalls beschreibt.

In der Molekülphysik sind Punktgruppen unentbehrlich, um aus spektroskopischen Daten auf die Symmetrie eines Moleküls zu schließen, oder um anhand der bekannten Symmetrie physikalische Eigenschaften vorherzusagen.

Mathematische Grundlagen

Die Symmetriegruppe eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben. Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus eine Drehspiegelung. Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist. Die Elemente einer Punktgruppe sind die Bilder der Symmetriegruppe unter dem Ableitungs-Homomorphismus. Diese Abbildung ist nicht injektiv, da beispielsweise sowohl Translationen als auch die Identitätsabbildung auf ihre linearen Teile abgebildet werden, welche in beiden Fällen die Identität der Punktgruppe darstellt. Punktgruppen enthalten mindestens einen Punkt, der Fixpunkt aller Symmetrieoperationen ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Symmetriegruppe keine Translationen enthält, also immer bei beschränkten Körpern.

Internationale Nomenklatur

Es finden zwei Symbolsysteme breite Anwendung: In der Kristallographie hat sich das von Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin abgeleitete System durchgesetzt, das die Zähligkeit der Symmetrie in den Vordergrund setzt. In der Molekülphysik ist die Symbolik von Schoenflies weit verbreitet, die auf den zugrundeliegenden Symmetrieelementen beruht.

System von Hermann-Mauguin

Zähligkeit der Achse: im Kristall nur 1, 2, 3, 4 oder 6, sonst auch 5, 7, ...
Drehinversionsachse: - (über der Zahl)
Symmetrieebene: m
Kombination Drehachse/Ebene: /

Dabei wird in der internationalen Form nicht für alle Achsen eine Angabe gemacht, sondern verkürzt dargestellt. Z.B. mmm statt 2/m 2/m 2/m

System von Schoenflies

Drehgruppen: C
Drehspiegelgruppen: S
Diedergruppen: D
Tetraedergruppen: T
Oktaedergruppen: O
Ikosaedergruppen: I
Kugelgruppen: K

horizontale Symmetrieebene: h
vertikale Symmetrieebene: v
diagonale Symmetrieebene: d
Inversionszentrum: i
Spiegelebene: s

Dabei wird dem Gruppensymbol je nach Bedarf die Zähligkeit der Achse und/oder ein Symbol für andere Symmetrieelemente als Index angehängt, z.B. D_2h

Kristallographische Bedeutung / Kristallklassen

Nicht alle Symmetrien eines Moleküls sind mit der Symmetrie eines Kristalls vereinbar: Wie Pierre Curie erkannte, sind in einem Kristall nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die Angabe einer 1-zähligen Drehachse bedeutet, dass ein Körper keine Drehsymmetrie besitzt. Eine 5-, 7- oder höherzählige Drehachse gibt es in Kristallen nicht, weil damit keine vollständige Raumausfüllung möglich wäre. Dennoch wurde eine 5-zählige Symmetrie in manchen metallischen Gläsern gefunden.

Es gibt im endlichdimensionalen Raum nur endlich viele mit Kristallsymmetrie verträgliche Punktgruppen. Speziell im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es 32 davon.

Die möglichen Symmetrien eines Kristalls werden mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Können die Rotationsteile der Symmetrieoperationen zweier Raumgruppen bei beliebiger Basenwahl zur Übereinstimmung gebracht werden, so werden sie derselben geometrischen Kristallklasse, entsprechend einer der 32 kristallographischen Punktgruppen, zugeordnet. Fordert man, dass es sich dabei um eine primitive Basis handelt, so erhält man 73 arithmetische Kristallklassen, die den geometrischen Kristallklassen entsprechen, aber zusätzlich Gitterzentrierung besitzen. So entsprechen z.B. der geometrischen Kristallklasse 2 die arithmetischen Kristallklassen P2 und C2.

Weil das Beugungsbild von Kristallen in der Röntgenbeugung bei Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum enthält, werden Kristalle einer von 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen zugeordnet, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden.

Wichtige Punktgruppen (Tabellen)

Punktgruppen und Kristallklassen

Kristallsystem	Kristallklasse	Schönflies	Hermann-Mauguin	Hermann/Mauguin Kurzsymbol
Triklin	triklin-pedial	C1	$1\$	$1\$
	triklin-pinakoidal	Ci	$\bar{1}$	$\bar{1}$
Monoklin	monoklin-sphenoidisch	C2	$2\$	$2\$
	monoklin-domatisch	Cs	$m\$	$m\$
	monoklin-prismatisch	C2h	$2/m\$	$2/m\$
Orthorhombisch	rhombisch-disphenoidisch	D2	$222\$	$222\$
	rhombisch-pyramidal	C2v	$mm2\$	$mm2\$
	rhombisch-dipyramidal	D2h	$2/m\ 2/m\ 2/m$	$m\ m\ m$
Tetragonal	tetragonal-pyramidal	C4	$4\$	$4\$
	tetragonal-disphenoidisch	S4	$\bar{4}$	$\bar{4}$
	tetragonal-dipyramidal	C4h	$4/m\$	$4/m\$
	tetragonal-trapezoedrisch	D4	$422\$	$422\$
	ditetragonal-pyramidal	C4v	$4mm\$	$4mm\$
	tetragonal-skalenoedrisch	D2d	$\bar{4}2m\$oder $\bar{4}m2$	$\bar{4}2m\$
	ditetragonal-dipyramidal	D4h	$4/m\ 2/m\ 2/m$	$4/m\ m\ m$
Trigonal	trigonal-pyramidal	C3	$3 \!$	$3 \!$
	rhomboedrisch	C3i	$\bar{3}$	$\bar{3}$
	trigonal-trapezoedrisch	D3	$32\$ oder $321\$ oder $312\$	$32\$
	ditrigonal-pyramidal	C3v	$3m\$oder $3m1\$oder $31m\$	$3m\$
	ditrigonal-skalenoedrisch	D3d	$\bar{3} 2/m$oder $\bar{3} 2/m 1$oder $\bar{3} 1 2/m$	$\bar{3} m$
Hexagonal	hexagonal-pyramidal	C6	$6\$	$6\$
	trigonal-dipyramidal	C3h	$\bar{6}$	$\bar{6}$
	hexagonal-dipyramidal	C6h	$6/m\$	$6/m\$
	hexagonal-trapezoedrisch	D6	$622\$	$622\$
	dihexagonal-pyramidal	C6v	$6mm\$	$6mm\$
	ditrigonal-dipyramidal	D3h	$\bar{6}m2$oder $\bar{6}2m$	$\bar{6}m2$
	dihexagonal-dipyramidal	D6h	$6/m\ 2/m\ 2/m\$	$6/m\ m\ m\$
Kubisch	tetraedrischpentagondodekaedrisch	T	$23\$	$23\$
	disdodekaedrisch	Th	$2/m\ \bar{3}$	$m\ 3$
	pentagonikositetraedrisch	O	$432\$	$432\$
	hexakistetraedrisch	Td	$\bar{4}3m$	$\bar{4}3m$
	hexakisoktaedrisch	Oh	$4/m\ \bar{3}\ 2/m$	$m\bar{3}m$

Punktgruppen und Molekülsymmetrie

Schönflies	H. / M.	Symmetrieelemente	Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1	$1\$	C1	CHFClBr
Cs ≡ S1	$m\$	σ ≡ S1	BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2	$\bar{1}$	i ≡ S2	1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2	$2\$	C2	H2O2, S2Cl2
C3	$3\$	C3	Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4	$4\$	C4	12-Krone-4
C5	$5\$	C5	15-Krone-5
C6	$6\$	C6	18-Krone-6
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h	$2mm\$	C2, 2σv	H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v	$3m\$	C3, 3σv	NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v	$4mm\$	C4, 4σv	SF5Cl, XeOF4
C5v	-	C5, 5σv	Corannulen, C5H5In
C6v	$6mm\$	C6, 6σv	Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v	-	C∞, ∞σv	lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v	$2/m\$	C2, σh, i	Oxalsäure
C3h ≡ S3	$3/m\$	C3, σh	Borsäure
C4h	$4/m\$	C4, σh, i	Polycycloalkan C12H20
C6h	$6/m\$	C6, σh, i	Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4	$\bar{4}$	S4	Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i	$\bar{3}$	S6	Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v	$222\$	3C2	Twistan
D3	$32\$	C3, 3C2	Tris-chelatkomplexe
D4	$422\$	C4, 4C2	-
D6	$622\$	C6, 6C2	Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h	$mmm\$	S2, 3C2, 2σv, σh, i	Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h	$\bar{6}2m$	S3, C3, 3C2, 3σv, σh	BF3, PCl5
D4h	$4/mmm\$	S2, C4, 4C2, 4σv, σh, i	Re2(CO)10
D5h	-	S2, C5, 5C2, 5σv, σh	IF7
D6h	$6/mmm\$	S2, C6, 6C2, 6σv, σh, i	Benzol
D∞h	-	S2, C∞, ∞σv	lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v	$\bar{4}2m\$	S4, 3C2, 2σd	Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v	$\bar{3}m\$	S6, C3, 3C2, 3σd, i	Cyclohexan
D4d ≡ S8v	-	S8, C4, 4C2, 4σd	Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v	-	S10, C5, 5C2, 5σd	Ferrocen
Tetraedergruppen
T	$23\$	3S4, 4C3, 3C2	Pt(PF3)4
Th	$m\bar{3}$	4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i	Fe(C6H5)6
Td	$\bar{4}3m$	3S4, 4C3, 3C2, 6σd	Methan, Phosphor (P4), Adamantan
Oktaedergruppen
O	$432\$	3C4, 4C3, 6C2	-
Oh	$m\bar{3}m\$	4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i	SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2	Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
Ih	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i	Fulleren-C60
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh	-	∞C∞, ∞σ, i	einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen