- Pushforward
-
Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialräumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die die totale Ableitung im euklidischen Raum verallgemeinert.
Das duale Konzept heißt meist Rücktransport (Pullback).
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sind M und N glatte Mannigfaltigkeiten und ist
eine glatte Abbildung, so definiert man den Pushforward
von F am Punkt
durch
für
und jede glatte Funktion
auf der Mannigfaltigkeit N. Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (Derivationen) aufgefasst, vgl. Tangentialraum.
Auf diese Weise wird eine Abbildung
definiert.
Bezeichnungen und Schreibweisen
Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind Ableitung, Differential und Tangentialabbildung von F. Andere Schreibweisen sind
, DFp(v), DpF(v), dFp(v), dpF(v) und TpF(v). Oft werden die Klammern um das Argument v auch weggelassen.
Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven
Ist
der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve
(hierbei ist I ein Intervall in
) im Punkt p = c(t), so ist
der Tangentialvektor der Bildkurve
im Bildpunkt
, also
-
.
Darstellung in Koordinaten
Sind
lokale Koordinaten auf M um p und
lokale Koordinaten auf N um den Bildpunkt F(p) so haben die Vektoren
und
die Darstellungen
-
bzw.
.
Wird weiter die Abbildung
durch die Funktionen
dargestellt, so gilt
-
.
Pushforward im euklidischen Raum
Liegt der Spezialfall
vor, so stellt
nichts anderes als die totale Ableitung
dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird.
Oft wird der Tangentialraum
des euklidischen Raums
im Punkt
mit
identifiziert, das Tangentialbündel
also mit
. In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung
.
Eigenschaften
Für den Pushforward einer Verkettung
zweier Abbildungen
und
gilt die Kettenregel:
bzw. punktweise
Literatur
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1 (Graduate Texts in Mathematics 218).
-
Wikimedia Foundation.